Métodos Numéricos con Python II - Álgebra Lineal Numérica

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Bienvenido al Curso de Métodos Numéricos con Python II

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Introducción al álgebra lineal numérica

Matrices

Espacios Vectoriales

Las matrices identidad, transpuesta e inversa

Tipos de matrices cuadradas

Matrices semejantes

Propiedades de las matrices

Valores y Vectores Propios

Propiedades de los Valores y Vectores Propios

Ejemplo de las relaciones entre Vaps, Veps y el teorema de Gerschgorin

Normas Vectoriales

Normas Matriciales

Norma matricial subordinada a una vectorial

Cálculo de la norma euclídea de una matriz

Cálculo de la norma 1 de una matriz

Cálculo de la norma infinito de una matriz

Ejemplos finales y propiedades

Ejercicios de álgebra lineal

Solución de la Tarea

Álgebra lineal numérica

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

Simplificación de un sistema de ecuaciones lineal

El Método de eliminación de Gauss

Cómo transformar un sistema lineal en triangular superior

Ejemplo: cómo aplicar el método de Gauss a un sistema lineal

Pseudocódigo e Implementación del método de Gauss

Número de operaciones del método de Gauss

Método de Gauss con pivotaje parcial

Pseudocódigo y ejemplo de pivotaje parcial

Pivotaje parcial escalado

Pivotaje global o maximal

Método de Gauss y sus variantes

Solución de la Tarea

Factorización de matrices

Algoritmo de la descomposición LU

Algoritmo para calcular las matrices L y U

Ejemplos de aplicación del algoritmo LU

Propiedades de la descomposición LU

Matrices de permutación

Matrices de permutación y descomposición LU

Matrices diagonal dominantes

Matrices simétricas y definidas positivas

Factorización LDLt

Algoritmo LDLt

Número de operaciones

Descomposición de Choleski

Métodos directos-1

Matrices tridiagonales. Factorización de Crout

Pseudocódigo y algoritmo de Crout

Métodos de ortogonalización

Método de ortogonalización de Gram-Schmidt

Ejemplo de ortogonalización de Gram-Schmidt

Descomposición LU y LDLt

Solución de la Tarea

Descomposición QR

Pseudocódigo y algoritmo QR

Inversa de A

Cálculo de la inversa de A utilizando la descomposición LU

Cálculo de la inversa de A utilizando la descomposición QR

Determinante de una matriz A

Análisis del Error en la matriz del sistema

Análisis del Error en el vector de términos independientes

Análisis del error en general

Método QR y análisis del error

Solución de la Tarea

Métodos directos-2

Introducción a los métodos iterativos

Método de Jacobi

Pseudocódigo y ejemplo del método de Jacobi

Método de Gauss-Seidel

Pseudocódigo y ejemplo del método de Gauss-Seidel

Método Iterativo General

Lema: Convergencia de una serie de matrices

Teorema: Condición necesaria y suficiente de convergencia

Corolario: Condición suficiente de convergencia

Convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel

Ejemplos del estudio de la convergencia

Métodos SOR

Pseudocódigo de SOR

Teorema de Kahan

Convergencia en los métodos SOR

Métodos iterativos

Solución de la Tarea

El método del gradiente conjugado

Algoritmo del Gradiente Descendente

Direcciones de búsqueda A-ortogonales

Ortogonalidad entre los residuos y las direcciones de iteración

Construcción del Algoritmo paso a paso

Mejora de la expresión del gradiente conjugado

Pseudocódigo e implementación del algoritmo del gradiente conjugado

Gradiente Conjugado

Solución de la Tarea

Métodos Iterativos

Introducción al cálculo de valores y vectores propios

Preliminares del Método de la Potencia

Método de la Potencia

Observaciones acerca del método de la potencia

Pseudocódigo y ejemplo del método de la potencia

Aceleración de la convergencia

Matrices Simétricas

Pseudocódigo y Algoritmo para Matrices Simétricas

Método de la potencia inversa

Pseudocódigo y ejemplo del método de la potencia inversa

Técnicas de Deflación

Deflación de Wielandt

Pseudocódigo de la deflación de Wielandt

Método completo de la deflación de Wielandt con recursividad

Método de la potencia y deflación

Solución de la Tarea

Valores y vectores propios-1

Introducción a los métodos de Ortogonalización

Matrices tridiagonales simétricas

Cálculo de la sucesión de matrices

Matrices de Rotación

Cálculo de las matrices Q y S

Pseudocódigo y ejemplo del cálculo de Q y S

Pseudocódigo y ejemplo de la sucesión de matrices A^n

Matrices Hessenberg Superiores

Ejemplo del caso de matrices Hessenberg superiores

Matrices de Householder

Transformación en un matriz Hessenberg superior

Cómo calcular las matrices P de Householder

Pseudocódigo y ejemplo de Householder

Caso General del método de Householder

Métodos de ortogonalización

Solución de la Tarea

Descomposición en valores singulares

Resultados Previos del Curso de Álgebra Lineal

Algoritmo de SVD

Demostración de A = UDVt

Pseudocódigo y ejemplo de Descomposición en Valores Singulares

Descomposición en Valores Singulares

Solución de la Tarea

Valores y vectores propios-2

Enhorabuena por terminar la segunda parte del curso de métodos numéricos

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Álgebra lineal numérica: la clave para la IA y el ML

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