Desde que empezamos a estudiar matemáticas, los números decimales nos acompañan en muchas situaciones: desde medir longitudes hasta calcular dinero o porcentajes. Sin embargo, a medida que profundizamos, descubrimos que no todos los números decimales son iguales. Algunos terminan en un número finito de cifras después del punto decimal, mientras que otros parecen extenderse indefinidamente y, lo curioso, siguen un patrón que se repite una y otra vez. En este artículo vamos a explorar por qué algunos números decimales son infinitos y periódicos, y cómo este fenómeno está relacionado con los números racionales.

Números racionales y decimales

Antes de entrar en detalle, es importante recordar qué es un número racional. Un número racional es cualquier número que puede expresarse como el cociente de dos enteros, es decir, de la forma a / b, donde $a$ y b son enteros y b≠0.

Los números racionales tienen una característica especial: cuando los convertimos a forma decimal, se manifiestan de manera que puede ser finita o infinita periódica. Por ejemplo:

• 1 / 2 = 0,5 → decimal finito

• 1 / 3 = 0,3333… → decimal infinito periódico

Esta distinción es fundamental para comprender el comportamiento de los números decimales.

¿Por qué algunos números decimales son finitos?

Los números decimales finitos surgen de fracciones cuyo denominador, una vez simplificada la fracción, solo contiene factores de 2 y 5. Esto se debe a que nuestro sistema de numeración es decimal, basado en potencias de 10, y 10 se descompone como 2×5.

Por ejemplo:

• 3 / 8 = 0,375 → el denominador 8 se puede expresar como 2³.

• 7 / 20 = 0,35 → el denominador 20 se puede descomponer como 2²×5.

En ambos casos, al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número decimal que termina después de un número limitado de cifras. La presencia de solo factores 2 y 5 en el denominador garantiza que la división se complete exactamente en algún punto.

Números decimales infinitos: ¿qué ocurre?

Cuando el denominador de la fracción contiene otros factores además de 2 y 5, la división genera un decimal que nunca termina. Pero, además, aparece un patrón repetitivo. Esto es lo que llamamos decimal periódico.

Por ejemplo:

• 1 / 3=0,3333… → el 3 se repite infinitamente

• 2 / 7=0,285714285714… → el bloque 285714 se repite una y otra vez

Estos números decimales infinitos y periódicos son característicos de todos los números racionales cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5.

¿Qué es un decimal periódico?

Un decimal periódico es aquel que tiene un grupo de cifras decimales que se repite indefinidamente. Se puede representar de varias formas:

• Período puro: todo el decimal después del punto se repite, como 0,666…=0,(6)

• Período mixto: una parte inicial no se repite y luego aparece un período, como 0,083333…=0,08(3)

La notación con paréntesis indica el bloque que se repite. Esta repetición infinita es lo que diferencia a estos decimales de los finitos, pero ambos siguen siendo racionales, porque siempre pueden expresarse como fracciones exactas.

Cómo determinar el período

Para saber cuál será el período de un número decimal derivado de una fracción a / b, podemos utilizar una propiedad de los números primos. Primero, se simplifica la fracción al máximo y se analiza el denominador $b$:

1. Si b solo tiene factores 2 y 5 → decimal finito

2. Si b tiene otros factores → decimal infinito periódico

El número de cifras del período depende de la relación entre el denominador y 10. Por ejemplo:

• 1 / 7=0,(142857) → el período tiene 6 cifras

• 1 / 13=0,(076923) → el período tiene 6 cifras

Este patrón se puede encontrar mediante la división larga, aunque para denominadores grandes, la teoría de números ofrece herramientas más avanzadas.

Ejemplos cotidianos de decimales periódicos

Los números decimales infinitos y periódicos no son solo un concepto teórico; los encontramos en muchos contextos:

• Finanzas: calcular el interés de un préstamo a veces produce decimales periódicos, como 1/3 del total a pagar

• Medidas: fracciones de pulgadas o centímetros pueden generar decimales periódicos al convertirlas a unidades métricas

• Probabilidades: muchas fracciones que representan probabilidades, como 1/6 en un dado, generan decimales infinitos periódicos 0,1666…=0,1(6)

Comprender que estos decimales son periódicos permite redondear correctamente y trabajar con precisión en cálculos.

La relación con los números irracionales

Es importante no confundir decimales infinitos y periódicos con los decimales infinitos no periódicos. Los segundos corresponden a los números irracionales, como π = 3,14159265… o √2 = 1,414213…, que nunca repiten un patrón y no pueden representarse como fracción exacta.

Así, los números decimales periódicos son racionales, mientras que los decimales infinitos no periódicos son irracionales. Esta distinción es clave para entender la estructura del conjunto de los números reales.

Propiedades interesantes de los decimales periódicos

Algunas propiedades curiosas de los números decimales periódicos incluyen:

• Transformación a fracción: cualquier decimal periódico puede convertirse a una fracción exacta mediante un método algebraico simple. Por ejemplo:
  x=0,666…
  Multiplicamos por 10: 10x=6,666…
  Restamos la ecuación original: 10x−x=6,666…−0,666…=6
  9x=6 → x = 6 / 9 = 2 / 3

• Período máximo: para un denominador primo $p$ que no divide 10, el período máximo de 1/p es p−1 cifras

• Multiplicación de decimales periódicos: multiplicar dos decimales periódicos genera otro decimal que también puede ser periódico, aunque a veces con período más largo

Estas propiedades muestran que los números decimales periódicos son estructurados y predecibles, a pesar de su apariencia infinita.

Cómo enseñar y entender los decimales periódicos

Si estás estudiando o enseñando matemáticas, estos consejos pueden ayudar a comprender mejor los números decimales periódicos:

1. Visualiza con la recta numérica: ubica decimales periódicos y finitos para comparar su valor

2. Practica la conversión a fracción: esto refuerza la relación entre fracciones y decimales

3. Usa ejemplos cotidianos: mostrar cómo aparecen en dinero, medidas o probabilidades facilita la comprensión

4. Dibuja patrones: observar el bloque que se repite ayuda a memorizar períodos y reconocer decimales periódicos

Conclusión

Los números decimales son más que simples cifras después del punto; representan relaciones profundas entre enteros y fracciones. Los decimales infinitos y periódicos muestran la elegancia de los números racionales, revelando patrones que se repiten indefinidamente y que, al mismo tiempo, pueden expresarse de manera exacta como fracciones.

Comprender por qué algunos números decimales son finitos y otros infinitos periódicos no solo es un ejercicio matemático, sino una herramienta útil en la vida diaria y en campos como finanzas, ingeniería, probabilidades e informática.

Al dominar esta relación entre fracciones y decimales, vosotros podéis trabajar con mayor precisión, reconocer patrones y apreciar la estructura que subyace en los números que usamos todos los días. Así, los números decimales dejan de ser un misterio y se convierten en una herramienta poderosa para comprender el mundo matemático y real que os rodea.

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