Las desigualdades son una parte fundamental de las matemáticas, especialmente dentro del álgebra. Aunque pueden parecer un simple paso más allá de las ecuaciones, en realidad nos permiten expresar relaciones mucho más amplias entre cantidades. Entenderlas y saber resolverlas correctamente es esencial, ya que aparecen constantemente en problemas de la vida real: desde comparar precios y medir distancias, hasta analizar gráficos y optimizar recursos.

En este artículo, vamos a repasar qué son las desigualdades, cómo se interpretan, los tipos que existen y los pasos para resolverlas de forma clara y ordenada. Además, veremos algunos errores comunes y ejemplos prácticos para que podáis dominarlas con confianza.

1. ¿Qué es una desigualdad?

Una desigualdad es una relación matemática que compara dos expresiones y muestra que una es mayor, menor, o a veces igual, que la otra. A diferencia de una ecuación, donde ambos lados son iguales, una desigualdad nos indica que las cantidades no son exactamente equivalentes, sino que una “supera” a la otra.

Por ejemplo:

• 5>3 significa que 5 es mayor que 3.

• x<10 indica que x puede ser cualquier número menor que 10.

• 2x+1≥7 expresa que la parte izquierda es mayor o igual que 7.

Estas expresiones son útiles cuando queremos describir rangos de valores posibles, en lugar de una sola solución como en las ecuaciones.

2. Símbolos y su significado

Al trabajar con desigualdades, es importante dominar los símbolos básicos que usamos para comparar:

• <: menor que

• >: mayor que

• ≤: menor o igual que

• ≥: mayor o igual que

Estos símbolos determinan si la solución incluye o no un límite concreto. Por ejemplo:

• x<4 → el 4 no está incluido.

• x≤4 → el 4 sí forma parte de las soluciones.

3. Tipos de desigualdades

Existen varios tipos de desigualdades, y entenderlas ayuda a saber qué método de resolución aplicar.

3.1 Lineales

Son las más comunes y se expresan con variables de primer grado (sin exponentes).
Ejemplo:

3x+2 > 5

3.2 Cuadráticas

Aparecen cuando la variable tiene exponente 2.
Ejemplo:

x2−4x+3 ≤ 0

3.3 Racionales

Incluyen fracciones algebraicas, es decir, una variable en el denominador.
Ejemplo:

2x+1x−3 ≥ 0

3.4 Compuestas

Son aquellas que combinan dos desigualdades al mismo tiempo.
Ejemplo:

2< x ≤7

Esto significa que $x$ puede ser cualquier valor entre 2 y 7, incluyendo el 7.

4. Reglas básicas para resolver una desigualdad

Resolver una desigualdad significa encontrar los valores de la variable que cumplen la relación. Los pasos son parecidos a los de una ecuación, pero hay que tener cuidado con algunas reglas especiales.

4.1 Operaciones permitidas

Podemos:

• Sumar o restar el mismo número en ambos lados.

• Multiplicar o dividir por un número positivo sin alterar el signo de la desigualdad.

Ejemplo:

x−3 > 2 ⇒ x > 5

4.2 Cuidado con los números negativos

Si multiplicas o divides por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Ejemplo:

−2x > 6 ⇒ x < −3

Este es uno de los errores más comunes al resolver desigualdades, así que conviene tenerlo siempre presente.

5. Cómo resolver desigualdades paso a paso

Veamos el procedimiento general usando distintos tipos de ejemplos.

Ejemplo 1: Desigualdad lineal

3x−5 < 10

Paso 1: Aísla la variable.

3x < 15

Paso 2: Divide entre 3 (positivo, no se cambia el signo).

x < 5

Solución: Todos los números menores que 5.

Ejemplo 2: Desigualdad con número negativo

−4x ≥ 12

Paso 1: Divide entre -4.
Como es negativo, cambia el signo.

x ≤ −3

Solución: Todos los números menores o iguales que -3.

Ejemplo 3: Desigualdad cuadrática

x2−3x−4 > 0

Paso 1: Factoriza el trinomio.

(x−4)(x+1) > 0

Paso 2: Analiza los intervalos en los que el producto es positivo.
Los puntos críticos son x=−1 y x=4.
Solución:

x < −1 o x > 4

Ejemplo 4: Desigualdad racional

(x−2) / (x+1) ≤0

Paso 1: Encuentra los valores que anulan numerador y denominador.

• Numerador = 0 → x=2

• Denominador = 0 → x=−1

Paso 2: Analiza el signo en los intervalos (−∞,−1), (−1,2), (2,∞).
Solución:

−1 < x ≤ 2

6. Representación gráfica

Una parte esencial de trabajar con desigualdades es saber representarlas en la recta numérica.

• Usa un círculo abierto (○) si el valor no está incluido (< o >).

• Usa un círculo cerrado (●) si el valor está incluido (≤ o ≥).
  Después, sombrea el intervalo de valores que cumple la condición.

Ejemplo:

x>2

→ Círculo abierto en 2 y sombreado hacia la derecha.

7. Errores comunes al resolver desigualdades

1. Olvidar invertir el signo al multiplicar o dividir por un número negativo.

2. No cambiar los intervalos correctamente al trabajar con fracciones.

3. Confundir los símbolos (< con ≤, por ejemplo).

4. Omitir la verificación del resultado al sustituir la solución.

5. No representar gráficamente el conjunto solución.

Evitar estos errores hace que resolver desigualdades sea un proceso más claro y preciso.

8. Aplicaciones de las desigualdades en la vida real

Las desigualdades no son solo un ejercicio de aula: tienen aplicaciones muy prácticas.

• Economía: Para comparar precios, beneficios o pérdidas.

• Ingeniería: En cálculos de resistencia, velocidad o presión, donde existen límites máximos o mínimos.

• Ciencias: En química o física para establecer márgenes de error o intervalos de medida.

• Informática: En programación, para definir condiciones dentro de algoritmos.

Comprender y aplicar desigualdades os ayuda a traducir problemas del mundo real en expresiones matemáticas concretas.

9. Consejos para dominar las desigualdades

• Trabajad paso a paso, sin saltaros operaciones.

• Comprobad siempre el signo cuando manipuléis números negativos.

• Representad gráficamente las soluciones: ayuda a visualizar el rango correcto.

• Practicad con distintos tipos (lineales, cuadráticas y racionales).

• Usad herramientas como GeoGebra o Desmos para verificar resultados.

10. Resumen final

Las desigualdades son una herramienta poderosa para expresar y resolver comparaciones entre cantidades. A diferencia de las ecuaciones, no buscan un valor único, sino un conjunto de posibles soluciones que cumplen una relación de orden.

Recordad:

• Siempre respetad las reglas básicas.

• Cambiad el signo cuando multipliquéis o dividáis por números negativos.

• Representad las soluciones gráficamente.

Dominar las desigualdades no solo mejora vuestra capacidad matemática, sino también vuestro pensamiento lógico y analítico. Con práctica y atención a los detalles, seréis capaces de resolver cualquier tipo de desigualdad con seguridad y precisión.

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