Cuando estudias álgebra o cálculo, uno de los temas que más suele imponerse por su complejidad es el de las raíces de polinomios de grado superior. Hasta los de segundo grado, todo es relativamente sencillo: aplicas la fórmula cuadrática y listo. Pero, ¿qué ocurre cuando el polinomio es de tercer, cuarto o incluso quinto grado?

En este post vamos a repasar las principales técnicas para encontrar y analizar las raíces de polinomios de grado superior, desde los métodos algebraicos más clásicos hasta las aproximaciones numéricas más útiles.

1. ¿Qué son las raíces de un polinomio?

Antes de entrar en fórmulas, conviene recordar qué entendemos por raíz de un polinomio.
Una raíz es todo número x0 que hace que el polinomio P(x) se anule, es decir:

P(x0) = 0

Por ejemplo, si P(x) = x^2 - 9, las raíces son x = 3 y x = -3. Cada raíz representa un punto donde la gráfica del polinomio corta o toca el eje X. Cuando el polinomio es de grado superior a 2, pueden aparecer raíces reales y complejas, y su número total (contando multiplicidades) siempre será igual al grado del polinomio.

2. Por qué los polinomios de grado superior son más difíciles

Resolver ecuaciones polinómicas de grado tres o más es un desafío porque no siempre existen fórmulas generales simples.

Para los de tercer y cuarto grado sí hay fórmulas cerradas (como las de Cardano y Ferrari), pero son tan extensas que rara vez se usan manualmente.

A partir del quinto grado, el matemático Abel demostró que no hay fórmula general que exprese las raíces mediante operaciones elementales.

Por eso, para hallar las raíces de polinomios de grado superior, se suele recurrir a métodos de factorización, aproximaciones numéricas o herramientas tecnológicas.

3. Primer paso: simplificar y factorizar

El camino más natural para encontrar las raíces de polinomios de grado superior comienza con la simplificación.

Antes de lanzarte a métodos complicados, revisa si el polinomio puede factorizarse parcialmente o si tiene raíces evidentes.

🔹 3.1. Probar raíces enteras con el teorema del factor racional

El teorema del factor racional indica que, si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional p/q, entonces:

• p es un divisor del término independiente.

• q es un divisor del coeficiente principal.

Por ejemplo, para P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 3, las posibles raíces racionales serían los divisores de 3 (±1, ±3) divididos entre los divisores de 2 (±1, ±2), es decir:
±1, ±3, ±1/2, ±3/2.

Probando manualmente, si sustituyes x = 3:

P(3) = 2(27) - 3(9) - 8(3) + 3 = 54 - 27 - 24 + 3 = 6 ≠ 0

Pero si pruebas x = 3/2:

P(3/2) = 2*(27/8) - 3*(9/4) - 8*(3/2) + 3
P(3/2) = 6.75 - 6.75 - 12 + 3 = -9 ≠ 0

Así sabrás si alguna de ellas funciona. Si encuentras una raíz exacta, puedes dividir el polinomio entre el binomio correspondiente (por ejemplo, x - r) y reducir su grado.

🔹 3.2. División sintética o de Ruffini

Cuando encuentras una raíz r, puedes dividir el polinomio entre x - r usando la regla de Ruffini. Esto reduce el grado del polinomio y permite repetir el proceso para hallar las siguientes raíces.

De este modo, transformas un problema complicado en una serie de pasos más manejables.

4. Métodos algebraicos clásicos

Para grados 3 y 4, existen fórmulas generales, aunque suelen ser muy largas.

🔹 4.1. Fórmula de Cardano (grado 3)

El matemático italiano Gerolamo Cardano descubrió una expresión que permite calcular las raíces cúbicas de una ecuación del tipo:

x^3 + px + q = 0

Sin entrar en la fórmula completa, la idea es transformar el polinomio en una forma “reducida” y luego aplicar operaciones con radicales y raíces cúbicas.

Aunque elegante, este método se usa más con fines teóricos que prácticos, ya que en la práctica los cálculos son tediosos.

🔹 4.2. Fórmula de Ferrari (grado 4)

Lodovico Ferrari, discípulo de Cardano, desarrolló un método para resolver polinomios de cuarto grado.

También se basa en una reducción previa, seguida de la resolución de una ecuación cúbica auxiliar.

De nuevo, hoy en día se prefiere usar software matemático para manejar estos cálculos.

5. Métodos numéricos: cuando la exactitud no es posible

En muchos casos, las raíces de polinomios de grado superior no pueden obtenerse de forma exacta.

Aquí entran en juego los métodos numéricos, que permiten aproximar las raíces con gran precisión.

🔹 5.1. Método de bisección

Este método consiste en escoger dos puntos a y b tales que P(a) y P(b) tengan signos opuestos (es decir, la función cruza el eje X entre ellos).

Luego, se calcula el punto medio c = (a + b) / 2 y se evalúa P(c).
Se repite el proceso reduciendo el intervalo hasta alcanzar el nivel de precisión deseado.

Es muy fiable, aunque algo lento.

🔹 5.2. Método de Newton-Raphson

El método de Newton es uno de los más populares por su rapidez. Parte de una estimación inicial x0 y se actualiza con la fórmula:

x_{n+1} = x_n - P(x_n) / P'(x_n)

donde P'(x) es la derivada del polinomio. 

Este método converge muy rápido si el punto inicial está cerca de la raíz, aunque puede fallar si la pendiente es muy pequeña o si el punto inicial no está bien elegido.

🔹 5.3. Método de las secantes

Parecido al de Newton, pero evita calcular la derivada. Usa dos valores iniciales y aproxima la pendiente mediante una recta secante.

Suele ser menos preciso, pero más fácil de implementar cuando no dispones de la derivada analítica.

6. Herramientas tecnológicas para encontrar raíces

Hoy en día, los ordenadores y calculadoras científicas facilitan enormemente el trabajo.

Programas como Wolfram Alpha, GeoGebra, Desmos o incluso Python (con NumPy) permiten calcular las raíces de polinomios de grado superior con unos pocos comandos.

Por ejemplo, en Python puedes usar:

import numpy as np

coeficientes = [1, -6, 11, -6]  # Polinomio x³ - 6x² + 11x - 6
raices = np.roots(coeficientes)
print(raices)

Este código devolverá las raíces 1, 2 y 3.

Además, estas herramientas no solo encuentran las raíces, sino que también permiten analizarlas gráficamente, lo que ayuda a comprender mejor su comportamiento.

7. Análisis de las raíces: reales, complejas y multiplicidad

Encontrar las raíces de polinomios de grado superior es solo la mitad del trabajo. También conviene analizarlas.

🔹 7.1. Raíces reales y complejas

Un polinomio de grado n siempre tendrá n raíces (contando multiplicidades), pero algunas pueden ser complejas.

Cuando aparecen números complejos, lo hacen en pares conjugados, es decir, si a + bi es raíz, también lo será a - bi.

🔹 7.2. Multiplicidad

Si una raíz aparece más de una vez, se dice que tiene multiplicidad mayor que 1.

Por ejemplo, P(x) = (x - 2)^3 tiene una única raíz (x = 2) con multiplicidad 3.

En la gráfica, esto se traduce en que el polinomio toca el eje X en lugar de cruzarlo.

8. Interpretar gráficamente las raíces

Visualizar las raíces ayuda mucho a entender el comportamiento de una función polinómica.
En un gráfico:

• Cada raíz real es un punto donde la curva corta o toca el eje X.

• Las raíces complejas no aparecen en el plano real, pero influyen en la forma general de la gráfica.

• Las raíces con multiplicidad alta suelen crear “puntos de tangencia” o cambios de curvatura.

Usar herramientas gráficas permite identificar visualmente las posibles raíces antes de calcularlas con precisión.

9. Buenas prácticas al trabajar con polinomios

Al abordar las raíces de polinomios de grado superior, ten en cuenta algunos consejos útiles:

1. Empieza siempre simplificando: factoriza y busca raíces evidentes.

2. Comprueba tus resultados: sustituye las raíces halladas en el polinomio original.

3. Combina métodos: usa pruebas racionales para aproximar y métodos numéricos para afinar.

4. Apóyate en la tecnología: herramientas como GeoGebra o Python te ahorran mucho tiempo.

5. Analiza el significado: más allá del número, las raíces te cuentan cómo se comporta la función.

10. Conclusión: dominar las raíces es entender el comportamiento del polinomio

Dominar el cálculo y el análisis de las raíces de polinomios de grado superior no es solo una cuestión de técnica, sino de comprensión profunda.

Cada raíz representa una parte esencial del comportamiento de la función: dónde cambia de signo, dónde se anula y cómo se relacionan sus diferentes términos.

Aprender a encontrarlas —ya sea mediante factorización, métodos numéricos o herramientas informáticas— te permitirá entender mejor las ecuaciones, las gráficas y, en general, el lenguaje matemático que describe el mundo.

Así que, la próxima vez que te enfrentes a un polinomio complicado, no te desesperes.
Aplica paso a paso lo que hemos visto, usa la tecnología a tu favor y recuerda: todas las raíces, por difíciles que parezcan, están ahí esperando ser descubiertas.

Aprende sobre Fundamentos del Álgebra con Aprende Matemáticas desde Cero de Frogames Formación

Si te ha interesado lo que te hemos contado en este post, te encantará saber que puedes profundizar en este tema y en todos los conceptos relacionados con los fundamentos del álgebra a través del curso Aprende Matemáticas desde Cero – Fundamentos del Álgebra. Este curso está pensado para quienes quieren empezar desde cero y avanzar con paso firme, aprendiendo de forma sencilla y práctica.

Además, este curso forma parte de la ruta de aprendizaje Aprende Matemáticas desde Cero, una serie de formaciones diseñadas para cubrir diferentes áreas de las matemáticas, desde aritmética hasta álgebra y más allá. Con esta colección, podrás ir construyendo tus conocimientos de manera progresiva y aplicarlos con confianza tanto en estudios como en situaciones cotidianas.

Si quieres dominar los fundamentos matemáticos que sustentan las ecuaciones y otros conceptos esenciales, esta ruta formativa es una opción perfecta para vosotros. ¡No dejéis pasar la oportunidad de aprender y mejorar vuestras habilidades matemáticas!

¡Nos vemos en clase!