Esta mañana en clase de yoga, el profesor nos ha indicado en medio de una postura "empujad con vuestras manos y meted las dorsales para hacer la espalda cóncava". Esto ha desatado un pequeño debate sobre qué es cóncava y qué es convexa, que me ha llevado a reflexionar sobre el tema que debería ser estándar en todo el mundo, pero realmente no es así. Y todo por una cuestión de historia y de cómo el conocimiento llegó a España.

Así que hoy vamos a abordar un tema altamente controvertido en el ámbito de las matemáticas. Aunque para muchos pueda parecer trivial, no hay escasez de debates interesantes en esta disciplina, si bien es cierto que la mayoría de ellos concluye con un reconocimiento del error seguido de un "Tienes razón. Me equivoqué en...".

Sin embargo, el tema que nos concierne hoy es excepcional y podría prolongarse indefinidamente si nos aferramos a posturas inflexibles, pues cóncava y convexa son dos términos acuñados a formas geométricas (y más abstractamente a conceptos matemáticos) que siempre han provocado discusión.

Cuando nos adentramos en el estudio de una función, surgen preguntas sobre lo que es cóncavo y lo que es convexo. Mientras lees esta interrogante, es posible que te parezca trivial, ya que en la escuela te lo explicaron de manera sencilla, utilizando el ejemplo del término "con-vexo" con beso, o te instaron a memorizarlo sin profundizar en el porqué.

Lo que probablemente no te mencionaron es que la forma cóncava y convexa son relativas al punto de vista desde el cual se observa la gráfica. Aquí radica la cuestión.

En términos generales, una forma se considera cóncava cuando el observador percibe que el objeto presenta una cierta profundidad. Puedes imaginarlo como asomarte a un cuenco para ver si quedan cereales o nueces en su interior. Yo suelo bromear con los estudiantes que cuando vas con-cava en el cuerpo, te sale una sonrisilla boba, de ahí que la forma de sonrisa, o forma de U se le llama cóncava.

Por el contrario, una forma se considera convexa cuando tiende a expandirse hacia afuera, en dirección al observador. Un ejemplo ilustrativo serían las jorobas de un camello.

En consecuencia, el carácter cóncavo o convexo de un objeto depende de si lo estamos observando desde arriba o desde abajo, al igual que con las funciones matemáticas.

Pero no todos estamos de acuerdo.

Una peculiaridad en este asunto es que tanto físicos como matemáticos tienen enfoques diferentes, ambos válidos, en este ámbito. Los físicos tradicionalmente han adoptado una perspectiva desde arriba, lo que hace que para ellos, la parábola y=x^2 sea considerada cóncava.

En contraste, los matemáticos generalmente han adoptado una perspectiva desde abajo, por lo que para ellos, la parábola y=x^2 es vista como convexa.

¿Cuál es la perspectiva correcta? Ninguna de las dos opciones es superior a la otra. Cada una es igualmente respetable.

Para evitar confusiones, como matemático, yo prefiero expresarlo de la siguiente manera y animo a mis estudiantes a hacer lo mismo:

f(x) es convexa (U) en (0,+ ∞) (o el dominio correspondiente) y f(x) es cóncava (∩) en (-∞,0)

De esta forma, el símbolo U o ∩ indica claramente nuestra perspectiva.

¿Y por qué me lo enseñaron al revés en el colegio?

Por último, es importante abordar una cuestión que ha alimentado esta controversia durante más de un siglo. Si eres español y tienes más de 30 años, es posible que te preguntes por qué te enseñaron matemáticas desde el punto de vista de los físicos en la escuela.

Desafortunadamente, en España, históricamente, hemos estado rezagados en cuanto a avances en ciencias, y los primeros estudios serios y avanzados comenzaron a mediados del siglo XIX. En esa época, prácticamente no existían libros científicos en español, por lo que se recurrió a obras escritas en inglés, alemán o francés.

Una de estas obras extranjeras sirvió de base para el estudio de las matemáticas en España. El "problema" radicó en que se trataba de un libro de matemáticas destinado a estudiantes de física, lo que llevó a que España mantuviera una perspectiva diferente al resto del mundo durante más de un siglo.

Esta costumbre comenzó a cambiar a finales de la década de los 80, en un esfuerzo por alinearnos con la perspectiva global del resto del mundo (y de idiomas). Por eso si lees un libro de matemáticas en inglés y uno en español, las definiciones aparecen giradas. Sin embargo, todavía hoy en día, hay profesores mayores, dinosaurios del mundo académico, que defienden esta singular "tradición" española.

Como en muchos aspectos de la vida, la concavidad y la convexidad tienen su razón de ser, y la elección de perspectiva es un asunto puramente personal.

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