Radicación: qué es, propiedades, ejemplos y cómo resolver raíces paso a paso

Cuando vemos por primera vez una expresión como √36, probablemente sepamos que el resultado es 6. Pero ¿qué significa realmente ese símbolo? ¿Por qué √36 = 6? ¿Qué ocurre cuando una raíz no es exacta, como √2 o √72? Para responder a estas preguntas necesitamos entender la radicación.

La radicación aparece continuamente en matemáticas y está estrechamente relacionada con otra operación fundamental: la potenciación. Entender esta relación es el primer paso para trabajar después con radicales, simplificarlos, realizar operaciones con ellos y aprender técnicas como la racionalización.

Vamos a empezar desde lo más básico.

¿Qué es la radicación?

La radicación es la operación que permite encontrar un número que, elevado a una determinada potencia, produce otro número conocido.

La forma más sencilla de entenderlo es mediante un ejemplo.

Sabemos que:

3² = 9

Por tanto:

√9 = 3

¿Por qué?

Porque estamos preguntando:

¿Qué número elevado al cuadrado da como resultado 9?

La respuesta es 3, ya que:

3² = 3 · 3 = 9

Por eso decimos que la radicación puede entenderse como una operación inversa de la potenciación.

Veamos otro ejemplo:

2³ = 8

Por tanto:

∛8 = 2

En este caso estamos buscando el número que, elevado al cubo, produce 8.

Como:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8

entonces:

∛8 = 2

En general, si escribimos:

ⁿ√a = b

significa que:

bⁿ = a

Esta relación entre potencias y raíces será fundamental durante todo el estudio de la radicación.

Una precisión importante sobre las raíces cuadradas

Puede surgir una duda: si 3² = 9, pero también (-3)² = 9, ¿por qué escribimos √9 = 3 y no ±3?

Porque el símbolo √ representa la raíz cuadrada principal, que por definición es no negativa.

Por tanto:

√9 = 3

Sin embargo, si resolvemos la ecuación:

x² = 9

entonces sí tenemos dos soluciones:

x = 3 o x = -3

Es decir:

x = ±3

Es importante distinguir entre calcular una raíz cuadrada y resolver una ecuación.

Partes de un radical

Una expresión como:

ⁿ√a

recibe el nombre de radical.

En ella podemos identificar varias partes.

Signo radical

Es el símbolo:

√

Indica que estamos realizando una radicación.

Índice

El índice indica qué tipo de raíz queremos calcular.

Por ejemplo:

∛8

tiene índice 3, por lo que estamos calculando una raíz cúbica.

Cuando calculamos una raíz cuadrada, el índice es 2, pero normalmente no se escribe:

√25 = ²√25

Radicando

El radicando es el número o expresión que aparece dentro del radical.

En:

∛125

el radicando es:

125

Raíz o resultado

La raíz es el resultado obtenido al realizar la radicación.

Por ejemplo:

∛125 = 5

porque:

5³ = 125

Por tanto, en este ejemplo tenemos:

• Signo radical: √
• Índice: 3
• Radicando: 125
• Raíz: 5

Imagen recomendada: aquí sería útil insertar un diagrama de ∛125 = 5 con flechas que señalen visualmente el signo radical, el índice 3, el radicando 125 y la raíz 5. Conviene utilizar una ilustración sencilla y limpia para que un principiante pueda identificar rápidamente cada parte.

Ejemplos de radicación

Antes de estudiar las propiedades de la radicación, conviene practicar con algunas raíces exactas.

Ejemplo 1: raíz cuadrada

√25 = 5

Esto es cierto porque:

5² = 25

Por tanto, 5 es la raíz cuadrada principal de 25.

Ejemplo 2: raíz cúbica

∛8 = 2

porque:

2³ = 8

Ejemplo 3: raíz cuarta

⁴√16 = 2

porque:

2⁴ = 16

Ejemplo 4: otra raíz cúbica

∛27 = 3

porque:

3³ = 27

Ejemplo 5: una raíz no exacta

No todas las raíces producen un número entero.

Por ejemplo:

√2

no puede expresarse como un número entero ni como una fracción exacta de dos enteros. Es un número irracional.

Podemos aproximarlo:

√2 ≈ 1,414

pero muchas veces es preferible mantener el resultado exacto:

√2

Aprender a trabajar con este tipo de expresiones es una de las razones por las que estudiamos los radicales.

¿Cuándo existe una raíz en los números reales?

Antes de estudiar las propiedades de la radicación necesitamos hacer una distinción importante.

Si trabajamos dentro de los números reales, no todas las raíces tienen las mismas condiciones.

Índice par

Si el índice es par, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

Por ejemplo:

√16 = 4

y:

√0 = 0

Pero:

√(-16)

no es un número real.

Esto sucede porque ningún número real elevado al cuadrado puede producir un resultado negativo.

Índice impar

Si el índice es impar, podemos tener radicandos positivos o negativos.

Por ejemplo:

∛8 = 2

y también:

∛(-8) = -2

porque:

(-2)³ = -8

Esta diferencia será importante al utilizar algunas de las propiedades de la radicación.

Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación permiten transformar expresiones con raíces para hacerlas más sencillas.

Conviene entender qué significa cada propiedad en lugar de intentar memorizar únicamente las fórmulas.

Raíz de un producto

En los casos en los que las raíces implicadas están definidas en los números reales:

ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b

Por ejemplo:

√(9 · 4)

Podemos calcular primero el producto:

√36 = 6

o separar las raíces:

√9 · √4 = 3 · 2 = 6

Obtenemos el mismo resultado.

Esta propiedad será especialmente útil cuando queramos simplificar radicales.

Por ejemplo:

√12

Podemos escribir 12 como:

12 = 4 · 3

Entonces:

√12 = √(4 · 3)

Aplicamos la propiedad:

√12 = √4 · √3

Como √4 = 2:

√12 = 2√3

Raíz de un cociente

También podemos trabajar con una división:

ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b

siempre que las expresiones estén definidas y el denominador no sea cero.

Por ejemplo:

√(25/4) = √25 / √4 = 5/2

Esta propiedad también puede utilizarse en sentido contrario:

√a / √b = √(a/b)

cuando se cumplen las condiciones necesarias.

Raíz de una potencia

Una relación muy importante es:

ⁿ√(aⁿ)

Aquí debemos tener cuidado.

Si n es impar:

ⁿ√(aⁿ) = a

Por ejemplo:

∛((-2)³) = -2

Sin embargo, cuando el índice es par:

ⁿ√(aⁿ) = |a|

Por ejemplo:

√((-5)²) = √25 = 5

No obtenemos -5, sino 5.

Por eso:

√(a²) = |a|

Esta precisión evita uno de los errores más frecuentes al empezar a estudiar radicales.

Potencia de una raíz

Si calculamos:

(ⁿ√a)ⁿ

recuperamos el radicando siempre que la raíz esté definida en el conjunto numérico en el que estamos trabajando:

(ⁿ√a)ⁿ = a

Por ejemplo:

(√7)² = 7

o:

(∛5)³ = 5

Radical de otro radical

También podemos encontrar una raíz dentro de otra raíz.

En las condiciones en las que ambas expresiones estén definidas:

ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a

Por ejemplo:

√(∛64) = ⁶√64

Como:

64 = 2⁶

tenemos:

⁶√64 = 2

Cómo simplificar radicales

Simplificar un radical significa escribirlo de una forma equivalente pero más sencilla.

Veamos el procedimiento con un ejemplo:

√72

Paso 1: buscar un cuadrado perfecto

Queremos descomponer 72 de manera que aparezca un factor cuya raíz cuadrada conozcamos.

Podemos escribir:

72 = 36 · 2

Paso 2: separar las raíces

Aplicamos la propiedad del producto:

√72 = √(36 · 2) = √36 · √2

Paso 3: calcular la raíz exacta

Como:

√36 = 6

obtenemos:

√72 = 6√2

El radical no ha desaparecido completamente, porque √2 no es una raíz exacta. Sin embargo, la expresión ahora es más sencilla.

Otro ejemplo: √20

Descomponemos:

20 = 4 · 5

Entonces:

√20 = √(4 · 5) = √4 · √5

Por tanto:

√20 = 2√5

Un ejemplo algo más difícil: √180

Podemos escribir:

180 = 36 · 5

Entonces:

√180 = √36 · √5 = 6√5

Por tanto:

√180 = 6√5

Simplificación de una raíz cúbica

El mismo razonamiento puede utilizarse con otros índices, pero ahora debemos buscar potencias perfectas correspondientes al índice.

Por ejemplo:

∛54

Como:

54 = 27 · 2

tenemos:

∛54 = ∛27 · ∛2

y como:

∛27 = 3

obtenemos:

∛54 = 3∛2

En una raíz cuadrada buscamos factores que sean cuadrados perfectos. En una raíz cúbica buscamos cubos perfectos, y así sucesivamente.

Operaciones con radicales

Una vez sabemos simplificar radicales, podemos empezar a realizar operaciones con ellos.

Las principales son la suma, resta, multiplicación y división.

Suma y resta de radicales

Para sumar o restar radicales directamente deben ser radicales semejantes.

Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando después de simplificarlos.

Por ejemplo:

2√3 + 5√3

Los dos términos contienen √3, así que podemos sumar sus coeficientes:

(2 + 5)√3

Por tanto:

2√3 + 5√3 = 7√3

Funciona de forma parecida a expresiones como:

2x + 5x = 7x

También podemos restar:

8√5 - 3√5 = 5√5

Cuando primero hay que simplificar

Consideremos:

√8 + √18

A primera vista los radicales no parecen semejantes. Pero podemos simplificarlos.

Primero:

√8 = √(4 · 2) = 2√2

Después:

√18 = √(9 · 2) = 3√2

Ahora sí son semejantes:

2√2 + 3√2 = 5√2

Por tanto:

√8 + √18 = 5√2

En cambio, una expresión como:

√2 + √3

no puede reducirse mediante una suma directa, porque los radicales no son semejantes.

Multiplicación de radicales

Cuando los radicales tienen el mismo índice podemos utilizar la propiedad del producto.

Por ejemplo:

√2 · √8

Multiplicamos dentro del radical:

√(2 · 8) = √16

Por tanto:

√2 · √8 = 4

También pueden aparecer coeficientes:

2√3 · 4√6

Primero multiplicamos los coeficientes:

2 · 4 = 8

Después los radicales:

√3 · √6 = √18

Así:

8√18

Simplificamos:

√18 = 3√2

Por tanto:

8 · 3√2 = 24√2

Resultado:

2√3 · 4√6 = 24√2

División de radicales

Con radicales del mismo índice podemos utilizar la propiedad del cociente cuando las expresiones están definidas y el denominador es distinto de cero.

Por ejemplo:

√50 / √2

Podemos escribir:

√(50/2) = √25 = 5

Por tanto:

√50 / √2 = 5

Veamos otro ejemplo:

6√15 / 3√5

Dividimos primero los coeficientes:

6/3 = 2

y después los radicales:

√15 / √5 = √3

Así obtenemos:

6√15 / 3√5 = 2√3

Racionalización

Al trabajar con radicales podemos encontrarnos expresiones como:

1/√2

Aquí tenemos un radical en el denominador.

Racionalizar consiste en transformar una expresión para eliminar los radicales del denominador, obteniendo una expresión equivalente.

Ejemplo sencillo

Partimos de:

1/√2

Multiplicamos numerador y denominador por √2:

(1/√2) · (√2/√2)

Como estamos multiplicando por una fracción equivalente a 1, no cambiamos el valor de la expresión.

Obtenemos:

√2 / (√2 · √2)

Y sabemos que:

√2 · √2 = 2

Por tanto:

1/√2 = √2/2

Ya no tenemos un radical en el denominador.

Otro ejemplo

Supongamos:

3/√5

Multiplicamos por:

√5/√5

Entonces:

(3/√5) · (√5/√5) = 3√5/5

Por tanto:

3/√5 = 3√5/5

Cuando hay un coeficiente

Consideremos:

5/(2√3)

Multiplicamos numerador y denominador por √3:

(5/(2√3)) · (√3/√3)

Obtenemos:

5√3/(2 · 3)

Así:

5/(2√3) = 5√3/6

Existen casos de racionalización más avanzados, especialmente cuando el denominador contiene sumas o restas con radicales. Para empezar, lo importante es comprender bien este procedimiento básico antes de añadir nuevas técnicas.

Errores frecuentes al trabajar con radicales

Los radicales tienen propiedades concretas y no podemos aplicarles cualquier operación de forma intuitiva. Veamos algunos errores habituales.

Error 1: separar una raíz de una suma

Es incorrecto afirmar que:

√(a + b) = √a + √b

Podemos comprobarlo fácilmente con números.

Por ejemplo:

√(9 + 16) = √25 = 5

Si separásemos incorrectamente la raíz:

√9 + √16 = 3 + 4 = 7

Pero:

5 ≠ 7

Por tanto:

√(a + b) ≠ √a + √b

en general.

La propiedad que permite separar radicales se aplica a productos, no a sumas.

Error 2: sumar radicales no semejantes

No podemos hacer:

√2 + √3 = √5

Podemos comprobarlo aproximadamente:

√2 + √3 ≈ 1,414 + 1,732 = 3,146

mientras que:

√5 ≈ 2,236

Claramente:

√2 + √3 ≠ √5

Error 3: olvidar simplificar antes de sumar

Consideremos:

√8 + √2

Podríamos pensar que no se pueden sumar porque los radicandos son distintos.

Sin embargo:

√8 = 2√2

Entonces:

√8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2

Por eso es recomendable simplificar los radicales antes de decidir si son semejantes.

Error 4: pensar que √(a²) = a siempre

En realidad:

√(a²) = |a|

Por ejemplo, si:

a = -4

entonces:

√(a²) = √((-4)²) = √16 = 4

Pero:

a = -4

Por tanto, no podemos afirmar que el resultado sea siempre a. La forma correcta es:

√(a²) = |a|

Error 5: pensar que toda raíz de un número negativo es imposible

Depende del índice.

En los números reales:

√(-9)

no está definida.

Sin embargo:

∛(-8) = -2

sí está definida porque:

(-2)³ = -8

Los índices pares e impares se comportan de manera diferente ante radicandos negativos.

Error 6: confundir √9 con ±3

La raíz cuadrada principal es:

√9 = 3

No:

√9 = ±3

El símbolo ± aparece, por ejemplo, cuando resolvemos:

x² = 9

porque tanto 3 como -3 cumplen la ecuación:

x = ±3

Ejercicios de radicación

Ahora puedes comprobar si has entendido los conceptos principales. Intenta resolver los ejercicios antes de consultar las soluciones.

1. Calcula:

√81

2. Calcula:

∛125

3. Simplifica:

√48

4. Simplifica y calcula:

√12 + √27

5. Calcula:

3√2 · 2√6

6. Simplifica:

√75 / √3

7. Racionaliza:

4/√7

Soluciones

Ejercicio 1

Tenemos:

√81

Buscamos qué número elevado al cuadrado produce 81.

Como:

9² = 81

entonces:

√81 = 9

Ejercicio 2

Tenemos:

∛125

Buscamos qué número elevado al cubo produce 125.

Como:

5³ = 125

entonces:

∛125 = 5

Ejercicio 3

Queremos simplificar:

√48

Buscamos un cuadrado perfecto que sea factor de 48:

48 = 16 · 3

Entonces:

√48 = √(16 · 3) = √16 · √3

Como:

√16 = 4

obtenemos:

√48 = 4√3

Ejercicio 4

Tenemos:

√12 + √27

Primero simplificamos cada radical.

Para √12:

√12 = √(4 · 3) = 2√3

Para √27:

√27 = √(9 · 3) = 3√3

Ahora los radicales son semejantes:

2√3 + 3√3 = 5√3

Por tanto:

√12 + √27 = 5√3

Ejercicio 5

Tenemos:

3√2 · 2√6

Multiplicamos los coeficientes:

3 · 2 = 6

y los radicales:

√2 · √6 = √12

Así:

6√12

Simplificamos:

√12 = 2√3

Entonces:

6 · 2√3 = 12√3

Por tanto:

3√2 · 2√6 = 12√3

Ejercicio 6

Tenemos:

√75 / √3

Aplicamos la propiedad del cociente:

√(75/3) = √25

Por tanto:

√75 / √3 = 5

Ejercicio 7

Queremos racionalizar:

4/√7

Multiplicamos numerador y denominador por √7:

(4/√7) · (√7/√7)

Obtenemos:

4√7/7

Por tanto:

4/√7 = 4√7/7

Aprende radicación paso a paso

Entender qué es la radicación y saber calcular algunas raíces es solo el comienzo. Para dominar realmente este tema es necesario practicar hasta aprender a reconocer las propiedades que pueden aplicarse en cada situación.

A medida que avances necesitarás trabajar con simplificación de radicales, suma y resta de radicales semejantes, multiplicaciones, divisiones y racionalización. Y, como ocurre con buena parte de las matemáticas, estas operaciones resultan mucho más fáciles cuando se practican de manera progresiva.

En el curso Aprende Matemáticas desde Cero - Aritmética de Frogames Formación encontrarás una sección completa dedicada a la radicación, con explicaciones paso a paso, ejercicios, retos y sus correspondientes soluciones.

El curso está planteado para avanzar desde los fundamentos, por lo que no necesitas partir de conocimientos matemáticos avanzados.

Si este artículo te ha servido para entender los conceptos básicos y quieres continuar practicando hasta manejar la radicación con soltura, puedes seguir aprendiendo en la sección dedicada a este tema dentro del curso:

https://cursos.frogamesformacion.com/courses/aritmetica-desde-cero

La clave no está en memorizar muchas fórmulas de una vez, sino en entender qué significa cada operación y practicarla de forma progresiva.