Sistemas de numeración: qué son, tipos, ejemplos y ejercicios resueltos

Cuando escribimos 25, 308 o 4.721, estamos representando cantidades mediante símbolos y unas reglas determinadas. Estamos utilizando uno de los muchos sistemas de numeración.

Lo hacemos constantemente: al contar objetos, indicar nuestra edad, consultar un precio, medir una distancia o realizar una operación matemática.

Sin embargo, la forma en la que escribimos los números no es la única posible. A lo largo de la historia se han utilizado distintos sistemas de numeración y, en la actualidad, algunos de ellos siguen teniendo aplicaciones importantes.

Por ejemplo:

• En nuestra vida cotidiana utilizamos principalmente el sistema decimal.
• En informática es fundamental el sistema binario.
• También existen sistemas como el octal y el hexadecimal.
• Los números romanos siguen apareciendo en siglos, nombres de monarcas, capítulos o acontecimientos.

En este artículo aprenderás qué es un sistema de numeración, qué significa que un sistema sea posicional, cómo funciona el sistema decimal y cuáles son las principales diferencias entre distintos sistemas.

Además, encontrarás ejemplos explicados paso a paso y ejercicios para practicar.

Comprender estos conceptos es importante porque el valor posicional de las cifras está detrás de buena parte de la aritmética que aprendemos después: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y muchas otras operaciones.

1. ¿Qué es un sistema de numeración?

Los sistemas de numeración son un conjunto de símbolos y reglas que utilizamos para representar números.

La idea puede parecer abstracta, así que veámosla con un ejemplo.

En nuestro sistema habitual escribimos:

27

Esos dos símbolos representan el número veintisiete.

Sin embargo, esa misma cantidad podría representarse de otra manera. Los romanos, por ejemplo, escribían:

XXVII

Las dos expresiones representan la misma cantidad:

27 = XXVII

Lo que cambia es el sistema utilizado para representarla.

Número y numeral: no son exactamente lo mismo

Para comprender bien los sistemas de numeración, resulta útil distinguir entre número y numeral.

Un número es una idea matemática que expresa una cantidad, una posición u otros conceptos matemáticos.

Un numeral es la representación escrita de un número mediante determinados símbolos.

Por ejemplo, el número doce puede escribirse:

• 12 en el sistema decimal.
• XII mediante números romanos.
• 1100 en el sistema binario.

Son representaciones diferentes de un mismo número.

En el lenguaje cotidiano solemos utilizar la palabra «número» para referirnos también a su representación escrita, y normalmente no genera ningún problema. Sin embargo, conocer esta diferencia ayuda a entender una idea fundamental:

los números no dependen de una única forma de escribirlos.

¿Qué elementos forman un sistema de numeración?

Aunque los sistemas pueden funcionar de maneras diferentes, normalmente debemos conocer dos aspectos:

1. Los símbolos disponibles.
2. Las reglas que indican cómo interpretar esos símbolos.

Por ejemplo, el sistema decimal utiliza diez cifras:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Pero saber cuáles son sus cifras no es suficiente. También necesitamos conocer sus reglas.

En el número 352, por ejemplo, el 3 no representa simplemente tres unidades. Como ocupa la posición de las centenas, representa 300.

Esto nos lleva al concepto de sistema posicional.

2. ¿Qué es un sistema de numeración posicional?

Los sistemas de numeración posicionales son aquellos en los que el valor de una cifra depende de la posición que ocupa dentro del numeral.

Esta idea es esencial para comprender nuestro sistema decimal.

Observa el número:

3.527

Aunque aparece una sola vez cada cifra, su valor depende de dónde se encuentre:

Por tanto:

3.527 = 3.000 + 500 + 20 + 7

Fíjate ahora en la cifra 5 de estos tres números:

• En 5, vale 5 unidades.
• En 50, vale 5 decenas, es decir, 50.
• En 500, vale 5 centenas, es decir, 500.

La cifra es la misma, pero su valor posicional cambia.

El papel del cero

El cero es especialmente importante en un sistema posicional porque permite indicar que una determinada posición no contiene ninguna unidad.

Por ejemplo:

507

significa:

• 5 centenas → 500
• 0 decenas → 0
• 7 unidades → 7

Por tanto:

507 = 500 + 0 + 7

No podemos eliminar el cero y escribir 57, porque estaríamos representando otro número.

En 507, el 5 representa 500.

En 57, el 5 representa 50.

¿Qué es la base de un sistema de numeración?

La base nos indica, entre otras cosas, cuántos símbolos básicos utiliza un sistema posicional para representar sus números.

Nuestro sistema habitual es de base 10 y utiliza diez cifras, desde 0 hasta 9.

Cada posición representa una potencia de 10:

No es necesario dominar las potencias para entender la idea inicial. Lo importante es observar que, al desplazarnos una posición hacia la izquierda, cada orden vale diez veces el anterior.

Por ejemplo:

1 → 10 → 100 → 1.000 → 10.000

Otros sistemas posicionales funcionan de manera parecida, pero utilizan una base distinta.

El sistema binario, por ejemplo, es de base 2. Por eso sus posiciones representan potencias de 2 en lugar de potencias de 10.

3. El sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal es el que utilizamos habitualmente para representar números.

Se llama decimal porque es un sistema de base 10.

¿Qué símbolos utiliza el sistema decimal?

Utiliza exactamente diez cifras:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Combinando estas diez cifras podemos representar tantos números enteros no negativos como necesitemos.

Por ejemplo:

7, 24, 105, 6.321, 82.540...

No necesitamos crear un símbolo nuevo para cada cantidad. Lo conseguimos cambiando y combinando las cifras según unas reglas posicionales.

Unidades, decenas, centenas y millares

Empezando por la derecha, las primeras posiciones de un número entero son:

Cada orden contiene 10 unidades del orden inmediatamente anterior.

Es decir:

10 unidades = 1 decena

10 decenas = 1 centena

10 centenas = 1 unidad de millar

Y así sucesivamente.

Esta relación es una de las claves del funcionamiento de nuestro sistema de numeración.

Ejemplo 1: interpretar 4.286

Vamos a estudiar cada cifra:

• El 4 ocupa la posición de las unidades de millar → vale 4.000.
• El 2 ocupa la posición de las centenas → vale 200.
• El 8 ocupa la posición de las decenas → vale 80.
• El 6 ocupa la posición de las unidades → vale 6.

Por tanto:

4.286 = 4.000 + 200 + 80 + 6

Esta expresión se denomina descomposición según el valor posicional.

Ejemplo 2: interpretar 70.305

En este caso aparecen ceros:

Así que:

70.305 = 70.000 + 300 + 5

Los ceros son importantes porque conservan la posición de las demás cifras.

Si escribiésemos 7.035, el valor sería completamente diferente.

Ejemplo 3: construir un número a partir de su descomposición

Supongamos que tenemos:

8.000 + 600 + 40 + 2

Identificamos cada posición:

• 8 unidades de millar.
• 6 centenas.
• 4 decenas.
• 2 unidades.

El número es:

8.642

Descomposición utilizando potencias de 10

Cuando conocemos las potencias, podemos expresar el valor posicional de una manera todavía más precisa.

Tomemos 3.527:

3.527 = 3 × 1.000 + 5 × 100 + 2 × 10 + 7 × 1

También podemos escribirlo como:

3.527 = 3 × 10^3 + 5 × 10^2 + 2 × 10^1 + 7 × 10^0

Esta forma de escribir un número permite ver con claridad por qué hablamos de un sistema de base 10.

Cada posición corresponde a una potencia de 10.

4. Otros sistemas de numeración

El decimal no es el único sistema de numeración.

Conocer otros sistemas permite entender mejor qué significa realmente representar un número y qué papel desempeña la base.

Vamos a ver cuatro ejemplos importantes: binario, octal, hexadecimal y números romanos.

Sistema binario

El sistema binario es un sistema posicional de base 2.

Solo utiliza dos cifras:

0 y 1

Sus posiciones, empezando por la derecha, tienen los valores:

1, 2, 4, 8, 16, 32...

Es decir, corresponden a potencias de 2.

Por ejemplo, el numeral binario:

1011 (base 2)

representa en decimal:

1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1

Por tanto:

1011 (base 2) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (base 10)

Indicar la base sirve para evitar confusiones.

Así:

• 1011 (base 2) significa que 1011 está escrito en base 2.
• 1011 (base 10) significa que 1011 está escrito en base 10.

Esto es importante porque una misma secuencia de cifras puede representar cantidades diferentes dependiendo de la base utilizada.

Sistema octal

El sistema octal es un sistema posicional de base 8.

Utiliza ocho cifras:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

No existen las cifras 8 y 9 dentro de un numeral octal.

Sus primeras posiciones tienen los valores:

1, 8, 64, 512...

Por ejemplo:

25 (base 8)

representa:

2 × 8 + 5 × 1 = 16 + 5 = 21

Por tanto:

25 (base 8) = 21 (base 10)

Sistema hexadecimal

El sistema hexadecimal es de base 16.

Necesita dieciséis símbolos distintos. Utiliza las diez cifras habituales y seis letras:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Las letras representan:

• A = 10
• B = 11
• C = 12
• D = 13
• E = 14
• F = 15

Por ejemplo:

2A (base 16)

representa:

2 × 16 + 10 × 1

Por tanto:

2A (base 16) = 32 + 10 = 42 (base 10)

Números romanos

Los números romanos funcionan de una manera diferente.

Utilizan símbolos como:

A diferencia del sistema decimal, el sistema romano habitual no es un sistema posicional como el decimal, el binario, el octal o el hexadecimal.

El valor se obtiene aplicando reglas de combinación de los símbolos.

Por ejemplo:

VIII = 8

porque:

5 + 1 + 1 + 1 = 8

También existen casos en los que un símbolo menor colocado antes de otro mayor indica una resta:

IV = 4

porque:

5 - 1 = 4

Y:

IX = 9

porque:

10 - 1 = 9

Los números romanos resultan útiles para observar que no todos los sistemas de numeración organizan sus símbolos mediante el mismo principio posicional.

Comparación de sistemas de numeración

Podemos resumir algunas de las características principales de los siguientes sistemas de numeración:

Veamos ahora cómo aplicar estas ideas mediante varios ejemplos.

5. Ejemplos resueltos de sistemas de numeración

Ejemplo 1: ¿qué valor tiene cada cifra de 6.482?

Empezamos por la derecha:

• 2 está en las unidades → 2
• 8 está en las decenas → 80
• 4 está en las centenas → 400
• 6 está en las unidades de millar → 6.000

Por tanto:

6.482 = 6.000 + 400 + 80 + 2

La clave consiste en no fijarnos únicamente en la cifra, sino también en la posición que ocupa.

Ejemplo 2: descomponer 50.709

Analizamos sus cifras:

• 5 decenas de millar → 50.000
• 0 unidades de millar → 0
• 7 centenas → 700
• 0 decenas → 0
• 9 unidades → 9

Por tanto:

50.709 = 50.000 + 700 + 9

Los ceros no aportan cantidad en sus respectivas posiciones, pero son necesarios para que el 5, el 7 y el 9 ocupen el lugar correcto.

Ejemplo 3: formar un número a partir de su valor posicional

Queremos escribir como un único número:

20.000 + 3.000 + 500 + 7

Tenemos:

• 2 decenas de millar.
• 3 unidades de millar.
• 5 centenas.
• 0 decenas.
• 7 unidades.

Por tanto, el número es:

23.507

Es importante incluir el cero de las decenas. Si escribiésemos 2.357, las cifras cambiarían de posición y representaríamos otro número.

Ejemplo 4: convertir 1101 (base 2) a decimal

El número binario es:

1101 (base 2)

Las posiciones, de derecha a izquierda, valen:

1, 2, 4, 8

Ahora multiplicamos cada cifra por el valor de su posición:

1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1

Calculamos:

8 + 4 + 0 + 1 = 13

Por tanto:

1101 (base 2) = 13 (base 10)

Ejemplo 5: convertir 34 (base 8) a decimal

Como estamos en base 8:

• La cifra de la derecha representa unidades.
• La siguiente representa grupos de 8.

Así:

34 (base 8) = 3 × 8 + 4 × 1

Calculamos:

24 + 4 = 28

Por tanto:

34 (base 8) = 28 (base 10)

Ejemplo 6: interpretar 1F (base 16)

Estamos utilizando el sistema hexadecimal.

Recordemos que:

F = 15

La primera posición desde la derecha vale 1 y la siguiente vale 16.

Entonces:

1F (base 16) = 1 × 16 + 15 × 1

Calculamos:

16 + 15 = 31

Por tanto:

1F (base 16) = 31 (base 10)

Los tres últimos ejemplos siguen exactamente la misma idea: cada cifra se multiplica por el valor correspondiente a su posición.

Lo que cambia es la base.

6. Ejercicios de sistemas de numeración

Ahora puedes comprobar si has entendido los conceptos anteriores.

Intenta resolver los ejercicios sin consultar las soluciones.

Ejercicios

1. Descompón el número 7.345 según el valor posicional de sus cifras.

2. ¿Qué valor representa la cifra 6 en el número 26.419?

3. Escribe como un único número:

40.000 + 2.000 + 300 + 80 + 5

4. Descompón 90.604 según el valor posicional de sus cifras.

5. Convierte 1010 (base 2) al sistema decimal.

6. Convierte 52 (base 8) al sistema decimal.

7. Convierte 2B (base 16) al sistema decimal.

8. Escribe 19 utilizando números romanos.

Soluciones explicadas

Ejercicio 1

Tenemos:

7.345

Identificamos las posiciones:

• 7 unidades de millar → 7.000
• 3 centenas → 300
• 4 decenas → 40
• 5 unidades → 5

Por tanto:

7.345 = 7.000 + 300 + 40 + 5

Ejercicio 2

En:

26.419

la cifra 6 ocupa la posición de las unidades de millar.

Por tanto, representa:

6.000

No debemos responder simplemente 6, porque nos están preguntando por su valor dentro del número.

Ejercicio 3

Tenemos:

40.000 + 2.000 + 300 + 80 + 5

Sumamos el valor de cada posición:

42.385

Por tanto, el número buscado es:

42.385

Ejercicio 4

Tenemos:

90.604

Sus cifras representan:

• 9 decenas de millar → 90.000
• 0 unidades de millar → 0
• 6 centenas → 600
• 0 decenas → 0
• 4 unidades → 4

Por tanto:

90.604 = 90.000 + 600 + 4

Ejercicio 5

Queremos convertir:

1010 (base 2)

Las posiciones valen, de derecha a izquierda:

1, 2, 4, 8

Entonces:

1010 (base 2) = 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1

Calculamos:

8 + 2 = 10

Por tanto:

1010 (base 2) = 10 (base 10)

Ejercicio 6

Tenemos:

52 (base 8)

Como es base 8:

52 (base 8) = 5 × 8 + 2 × 1

Por tanto:

40 + 2 = 42

Así que:

52 (base 8) = 42 (base 10)

Ejercicio 7

Tenemos:

2B (base 16)

En hexadecimal:

B = 11

Por tanto:

2B (base 16) = 2 × 16 + 11 × 1

Calculamos:

32 + 11 = 43

Así que:

2B (base 16) = 43 (base 10)

Ejercicio 8

Queremos representar 19 mediante números romanos.

Podemos descomponerlo como:

19 = 10 + 9

En números romanos:

• 10 → X
• 9 → IX

Por tanto:

19 = XIX

7. Errores frecuentes al estudiar los sistemas de numeración

Cuando se estudia este tema por primera vez, algunos errores aparecen con bastante frecuencia.

Confundir una cifra con su valor posicional

En 4.582, la cifra 5 no representa cinco unidades.

Representa 500, porque ocupa la posición de las centenas.

Para evitar este error, identifica siempre la posición empezando por la derecha:

unidades → decenas → centenas → unidades de millar...

Pensar que el valor de una cifra siempre es el mismo

Una misma cifra puede representar cantidades diferentes:

• En 7, el 7 vale 7.
• En 70, vale 70.
• En 700, vale 700.

En un sistema posicional hay que considerar conjuntamente la cifra y su posición.

Ignorar los ceros intermedios

Observa:

405

No podemos escribir su descomposición como 400 + 50.

La cifra 5 está en las unidades, no en las decenas.

La descomposición correcta es:

405 = 400 + 5

El cero indica que hay 0 decenas.

Utilizar cifras que no existen en una base

Cada sistema dispone de un conjunto concreto de cifras.

Por ejemplo:

• En base 2 solo podemos utilizar 0 y 1.
• En base 8 podemos utilizar desde 0 hasta 7.
• En base 10 utilizamos desde 0 hasta 9.
• En base 16 utilizamos desde 0 hasta 9 y desde A hasta F.

Por tanto, una expresión como 102 (base 2) no puede ser un numeral binario válido, porque contiene la cifra 2.

Del mismo modo, 89 (base 8) no es un numeral octal válido porque las cifras 8 y 9 no pertenecen al sistema octal.

Interpretar un numeral de otra base como si fuese decimal

Por ejemplo:

10 (base 2)

no representa diez.

En binario, las posiciones valen 1, 2, 4, 8...

Por eso:

10 (base 2) = 1 × 2 + 0 × 1 = 2 (base 10)

La base es fundamental para saber qué cantidad representa un numeral.

Pensar que todos los sistemas funcionan como el decimal

Decimal, binario, octal y hexadecimal son sistemas posicionales, aunque utilizan bases diferentes.

Los números romanos siguen otras reglas.

Por eso no debemos intentar interpretar XIV, por ejemplo, como si cada símbolo ocupase una posición equivalente a unidades, decenas o centenas.

8. Resumen

Los sistemas de numeración son un conjunto de símbolos y reglas utilizados para representar números.

Nuestro sistema habitual es el sistema de numeración decimal, que:

• utiliza las cifras del 0 al 9;
• es un sistema posicional;
• tiene base 10;
• y hace que el valor de cada cifra dependa de la posición que ocupa.

Por ejemplo:

5.284 = 5.000 + 200 + 80 + 4

La cifra situada en cada posición representa un determinado número de unidades, decenas, centenas, millares, etc.

Además del decimal, existen otros sistemas de numeración.

El binario utiliza base 2; el octal, base 8; y el hexadecimal, base 16. Todos ellos son posicionales.

Los números romanos, en cambio, utilizan símbolos y reglas diferentes y no constituyen un sistema posicional como los anteriores.

Comprender estas ideas permite ver que un número y la forma de escribirlo no son exactamente lo mismo: una misma cantidad puede representarse mediante sistemas de numeración diferentes.

10. Continuar aprendiendo aritmética desde cero

Entender los sistemas de numeración y el valor posicional es una buena base para continuar estudiando aritmética.

Conceptos como las unidades, decenas y centenas pueden parecer elementales, pero comprenderlos bien ayuda a entender después por qué funcionan los algoritmos que utilizamos para sumar, restar, multiplicar o dividir.

Si quieres estudiar estos conceptos siguiendo un recorrido estructurado y continuar avanzando desde las bases, puedes hacerlo en Aritmética desde Cero, donde encontrarás la sección correspondiente a sistemas de numeración dentro de un aprendizaje progresivo de la aritmética.

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