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Utilizamos números constantemente: para contar objetos, calcular precios, medir distancias o saber cuánto tiempo falta para una cita. La teoría de números estudia las propiedades y relaciones que se esconden detrás de estos números y de operaciones tan habituales como multiplicar o dividir.
Esta rama de las matemáticas se centra principalmente en los números enteros y permite entender cuestiones como por qué un número es divisible entre otro, qué diferencia a los números primos de los compuestos o cómo podemos descomponer un número en factores.
Conceptos como la divisibilidad, los múltiplos, los divisores, los números primos o la descomposición en factores primos forman parte de la teoría de números. En este artículo vamos a descubrirlos desde cero, con explicaciones claras y ejemplos sencillos.
¿Qué es la teoría de números?
La teoría de números es una rama de las matemáticas dedicada al estudio de los números enteros y de las relaciones que existen entre ellos.
Los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal. Por ejemplo:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …
Estudiar teoría de números no consiste simplemente en realizar operaciones con estos números. También significa hacerse preguntas sobre sus propiedades.
Por ejemplo:
¿Es 17 divisible entre algún número distinto de 1 y de 17?
¿Qué números dividen exactamente a 24?
¿Hay alguna forma rápida de saber si 372 es divisible entre 3?
¿Qué relación existe entre 12 y 18?
¿Cómo podemos escribir 60 como producto de números primos?
Estas preguntas nos llevan a conceptos como la divisibilidad, los divisores, los números primos, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Aunque algunos de estos términos pueden parecer complicados al principio, las ideas que representan son bastante sencillas cuando se estudian en el orden adecuado.
¿Qué estudia la teoría de números?
Para entender los fundamentos de la teoría de números conviene empezar por los tipos de números que vamos a utilizar y avanzar progresivamente. Muchos de los conceptos están relacionados entre sí: comprender uno facilita entender el siguiente.
Números naturales y números enteros
Los números naturales son los que utilizamos habitualmente para contar:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Dependiendo de la convención utilizada, también puede incluirse el 0 dentro de los números naturales.
Los números enteros amplían este conjunto incorporando el cero y los números negativos:
…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …
Por ejemplo, podemos utilizar un número positivo para representar que tenemos 20 euros y un número negativo para expresar una deuda de 20 euros.
Gran parte de la teoría de números elemental estudia precisamente las propiedades de estos números.
Divisibilidad
La divisibilidad estudia cuándo un número entero puede dividirse entre otro de forma exacta, es decir, sin que quede resto.
Por ejemplo:
12 ÷ 3 = 4
La división es exacta, así que podemos decir que 12 es divisible entre 3.
En cambio:
12 ÷ 5 = 2 y sobran 2
Por tanto, 12 no es divisible entre 5.
Esta idea tan sencilla es fundamental porque permite introducir muchos de los conceptos que aparecen después.
Existen además los llamados criterios de divisibilidad, unas reglas que permiten saber rápidamente si un número es divisible entre otro sin necesidad de efectuar toda la división.
Por ejemplo, un número es divisible entre 2 cuando su última cifra es par, y es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Múltiplos y divisores
Los conceptos de múltiplo y divisor están directamente relacionados con la divisibilidad.
Un número es múltiplo de otro cuando podemos obtenerlo multiplicando ese número por un entero.
Por ejemplo, algunos múltiplos de 4 son:
4, 8, 12, 16, 20, 24, …
porque:
4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
En cambio, decimos que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.
Por ejemplo, 3 es divisor de 12 porque:
12 ÷ 3 = 4
Observa que las dos ideas describen la misma relación desde puntos de vista diferentes:
12 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 12.
Esta relación será especialmente importante cuando estudiemos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Números primos y números compuestos
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo.
Por ejemplo, 7 es primo porque sus únicos divisores positivos son:
1 y 7
En cambio, 8 no es primo porque puede dividirse exactamente entre:
1, 2, 4 y 8
Los números mayores que 1 que tienen más de dos divisores positivos se llaman números compuestos.
Por ejemplo:
- 2 es primo.
- 3 es primo.
- 4 es compuesto, porque es divisible entre 1, 2 y 4.
- 5 es primo.
- 6 es compuesto, porque es divisible entre 1, 2, 3 y 6.
El número 1 no es primo ni compuesto. Esta distinción es importante y evita bastantes confusiones cuando se empieza a estudiar el tema.
Los números primos tienen un papel fundamental en teoría de números porque actúan, en cierto sentido, como las piezas básicas con las que podemos construir los demás números naturales mediante multiplicaciones.
Descomposición en factores primos
La descomposición en factores primos consiste en expresar un número compuesto como un producto de números primos.
Tomemos como ejemplo el número 12:
12 = 2 × 6
Como 6 todavía es compuesto, podemos seguir:
6 = 2 × 3
Por tanto:
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
Hemos expresado 12 utilizando únicamente números primos.
Otro ejemplo sería:
30 = 2 × 3 × 5
Esta descomposición es especialmente útil porque permite estudiar la estructura de un número y facilita cálculos posteriores, entre ellos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor, normalmente abreviado como MCD, es el mayor número que divide exactamente a dos o más números.
Por ejemplo, busquemos el MCD de 12 y 18.
Los divisores positivos de 12 son:
1, 2, 3, 4, 6 y 12
Los divisores positivos de 18 son:
1, 2, 3, 6, 9 y 18
Los divisores que tienen en común son:
1, 2, 3 y 6
El mayor es 6, así que:
MCD(12, 18) = 6
El MCD aparece en situaciones en las que necesitamos dividir varias cantidades en grupos iguales lo más grandes posible.
Mínimo común múltiplo (mcm)
El mínimo común múltiplo, abreviado como mcm, es el menor múltiplo positivo que tienen en común dos o más números.
Veamos los múltiplos de 4:
4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Y algunos múltiplos de 6:
6, 12, 18, 24, 30, …
El primer múltiplo positivo que aparece en ambas listas es 12.
Por tanto:
mcm(4, 6) = 12
El mínimo común múltiplo resulta útil, por ejemplo, cuando queremos averiguar cuándo volverán a coincidir dos acontecimientos que se repiten con frecuencias diferentes.
Como puedes ver, todos estos conceptos están conectados. La divisibilidad permite hablar de divisores; los divisores nos ayudan a distinguir números primos y compuestos; los números primos permiten descomponer otros números en factores; y esa descomposición puede utilizarse para calcular el MCD y el mcm.
Ejemplos sencillos de teoría de números
La mejor forma de entender estas ideas es aplicarlas. Veamos algunos ejemplos de teoría de números paso a paso.
Ejemplo 1: determinar si 17 es un número primo
Para saber si 17 es primo tenemos que comprobar si tiene algún divisor positivo aparte de 1 y 17.
Probamos con los números pequeños que podrían dividirlo.
17 no es divisible entre 2 porque es impar.
Tampoco es divisible entre 3, ya que:
1 + 7 = 8
y 8 no es múltiplo de 3.
No encontramos ningún divisor que permita expresar 17 como producto de dos números naturales distintos de 1 y 17.
Por tanto:
17 es un número primo.
Ejemplo 2: encontrar los divisores de 24
Queremos encontrar todos los números naturales que dividen exactamente a 24.
Podemos buscar parejas de números cuyo producto sea 24:
1 × 24 = 24
2 × 12 = 24
3 × 8 = 24
4 × 6 = 24
De estas parejas obtenemos todos sus divisores positivos:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Por tanto, 24 es un número compuesto.
Ejemplo 3: comprobar si un número es divisible entre 3
Queremos saber si 372 es divisible entre 3.
Existe un criterio muy sencillo: un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3.
Sumamos:
3 + 7 + 2 = 12
Como 12 es divisible entre 3, podemos concluir que 372 también es divisible entre 3.
De hecho:
372 ÷ 3 = 124
El criterio nos permite llegar a la conclusión rápidamente sin empezar realizando la división completa.
Ejemplo 4: descomponer 60 en factores primos
Vamos a dividir 60 sucesivamente entre números primos.
Empezamos por 2:
60 = 2 × 30
El 30 también es divisible entre 2:
30 = 2 × 15
El 15 ya no es divisible entre 2, pero sí entre 3:
15 = 3 × 5
Y 5 es primo.
Por tanto:
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Utilizando potencias podemos escribirlo de forma más compacta:
60 = 2² × 3 × 5
Esta es la descomposición en factores primos de 60.
Ejemplo 5: calcular el MCD mediante factores primos
Calculemos el MCD de 24 y 36.
Primero descomponemos los dos números:
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
Los dos contienen los factores primos 2 y 3.
Para obtener el MCD tomamos los factores comunes con el menor exponente:
MCD(24, 36) = 2² × 3
Por tanto:
MCD(24, 36) = 4 × 3 = 12
Podemos comprobarlo observando que 12 divide exactamente tanto a 24 como a 36.
Ejemplo 6: calcular el mcm mediante factores primos
Utilicemos ahora esos mismos números:
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
Para calcular el mínimo común múltiplo necesitamos incluir todos los factores primos que aparecen, utilizando en este caso el mayor exponente de cada uno:
mcm(24, 36) = 2³ × 3²
Así:
mcm(24, 36) = 8 × 9 = 72
Podemos comprobar el resultado:
72 ÷ 24 = 3
y
72 ÷ 36 = 2
Por tanto, 72 es múltiplo de ambos y es el menor múltiplo positivo que comparten.
Estos ejemplos muestran por qué es útil aprender los conceptos en conjunto. La descomposición en factores primos, por ejemplo, no es una técnica aislada: puede convertirse en una herramienta para resolver otros problemas.
¿Para qué sirve la teoría de números?
En un nivel básico, estudiar teoría de números ayuda a comprender mejor cómo funcionan los números y las operaciones aritméticas.
Aprender divisibilidad, múltiplos, divisores y factores permite dejar de ver muchos procedimientos matemáticos como simples reglas que hay que memorizar. Cuando entendemos qué significa que un número divida a otro, resulta mucho más fácil comprender después los números primos, la factorización, el MCD o el mcm.
Estos conocimientos también aparecen en otros temas matemáticos. El MCD puede utilizarse al simplificar fracciones, mientras que el mcm es muy útil cuando trabajamos con fracciones que tienen denominadores diferentes.
Además, la teoría de números tiene aplicaciones mucho más avanzadas.
Un ejemplo conocido es la criptografía, es decir, el conjunto de técnicas utilizadas para proteger información. Algunos sistemas criptográficos se apoyan en propiedades de los números primos y en problemas relacionados con la aritmética de números enteros.
No es necesario conocer estas aplicaciones avanzadas para empezar. Lo importante es comprender que ideas aparentemente sencillas sobre divisores y números primos pueden acabar teniendo usos muy importantes.
Cómo empezar a estudiar teoría de números desde cero
Si estás empezando con las matemáticas, no necesitas abordar todos estos conceptos al mismo tiempo. Es mejor construir una base progresivamente.
Un buen orden de aprendizaje sería:
- Familiarizarte con los números naturales y enteros y con las operaciones aritméticas básicas.
- Entender qué significa que una división sea exacta y aprender el concepto de divisibilidad.
- Trabajar con múltiplos y divisores hasta distinguirlos con facilidad.
- Aprender los criterios básicos de divisibilidad.
- Comprender qué diferencia a los números primos de los números compuestos.
- Practicar la descomposición en factores primos.
- Aprender a calcular y utilizar el máximo común divisor.
- Aprender a calcular y utilizar el mínimo común múltiplo.
Sobre todo, intenta comprender antes de memorizar.
Por ejemplo, memorizar un procedimiento para calcular el MCD puede permitirte resolver un ejercicio concreto, pero entender qué representa el MCD te permitirá reconocer cuándo necesitas utilizarlo.
También es importante practicar. Puedes empezar con números pequeños y hacerte preguntas sencillas: ¿cuáles son los divisores de 18?, ¿29 es primo?, ¿45 es divisible entre 3?, ¿cuál es la factorización prima de 40?
Cuando esos ejercicios resulten fáciles, aumenta progresivamente la dificultad.
Si quieres aprender estos conceptos paso a paso y practicar con ejemplos y ejercicios, en el curso Aritmética desde Cero encontrarás la tercera sección dedicada a la teoría de números:
Aritmética desde Cero: https://cursos.frogamesformacion.com/courses/aritmetica-desde-cero
El objetivo es construir primero las bases de la aritmética para que puedas entender el razonamiento que hay detrás de los procedimientos, en lugar de limitarte a memorizar fórmulas y reglas.
En resumen
La teoría de números estudia las propiedades y relaciones de los números enteros. En sus fundamentos encontramos ideas tan importantes como la divisibilidad, los múltiplos y divisores, los números primos, la descomposición en factores primos, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Más que aprender estos conceptos de manera independiente, merece la pena entender cómo se relacionan. Saber qué significa que un número sea divisible entre otro nos ayuda a encontrar sus divisores; los divisores permiten reconocer los números primos; los números primos sirven para factorizar números compuestos; y la factorización facilita cálculos como el MCD y el mcm.
Dominar estas bases no solo ayuda a resolver ejercicios de teoría de números. También proporciona una base más sólida para seguir aprendiendo aritmética y abordar posteriormente otros temas matemáticos con mayor comprensión.
Preguntas Frecuentes
¿Qué es la teoría de números?
Es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los números enteros, como la divisibilidad, los números primos, los divisores y los múltiplos.
¿Qué conceptos básicos se estudian en teoría de números?
Entre los principales están los números naturales y enteros, la divisibilidad, los múltiplos y divisores, los números primos, la factorización, el MCD y el mcm.
¿Qué es un número primo?
Es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos.
¿Para qué sirve la descomposición en factores primos?
Permite expresar un número como producto de números primos y facilita cálculos como el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm).
¿Para qué sirve la teoría de números?
Ayuda a comprender mejor la aritmética y las relaciones entre números. Además, sus ideas tienen aplicaciones avanzadas en campos como la criptografía.
