La potenciación es una de las operaciones más poderosas y, al mismo tiempo, más malentendidas de las matemáticas. En apariencia es sencilla: se trata de multiplicar un número varias veces por sí mismo. Sin embargo, cuando empezamos a combinar potencias con distintos exponentes o bases, surgen reglas que conviene dominar. Estas reglas se conocen como las leyes de la potenciación, y entenderlas te permitirá simplificar expresiones, resolver ecuaciones y ganar una base sólida para temas más avanzados como las raíces, los logaritmos o el álgebra.

En este artículo te explicaremos las leyes de la potenciación de manera clara, con ejemplos cotidianos, fórmulas y trucos para recordarlas sin esfuerzo.

¿Qué es una potencia?

Antes de entrar en materia, repasemos el concepto básico.

Una potencia se escribe así:

aⁿ

Donde:

• a es la base.

• n es el exponente o potencia.

Su significado es: “multiplica a por sí misma n veces”.

Por ejemplo:

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

La base es 2, el exponente es 3, y el resultado (también llamado potencia) es 8.

Las leyes de la potenciación

Vamos ahora con el núcleo del tema. Las leyes de la potenciación son un conjunto de reglas que nos indican cómo operar correctamente cuando hay potencias con la misma base o con el mismo exponente.

Lo mejor de todo es que son pocas, fáciles de aprender y muy útiles.

Vamos una por una.

1. Producto de potencias con la misma base

Cuando multiplicas dos potencias con la misma base, se suman los exponentes.

Fórmula:

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Ejemplo:

2³ × 2² = 2⁵ = 32

Porque 2³ = 8 y 2² = 4, y 8 × 4 = 32.
Pero aplicando la regla, solo sumas los exponentes: 3 + 2 = 5.

Truco para recordarlo:
Cuando multiplicas, sumas los exponentes.

2. Cociente de potencias con la misma base

Cuando divides dos potencias con la misma base, restas los exponentes.

Fórmula:

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Ejemplo:

5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625

Truco para recordarlo:
Si multiplicar es sumar exponentes, dividir es restarlos.

Eso sí, recuerda que la base debe ser la misma. Si no lo es, la ley no se aplica.

3. Potencia de una potencia

Cuando tienes una potencia elevada a otra potencia, los exponentes se multiplican.

Fórmula:

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

Ejemplo:

(3²)³ = 3⁶ = 729

Primero 3² = 9, y 9³ = 729.
Si multiplicas los exponentes: 2 × 3 = 6, obtienes el mismo resultado.

Truco para recordarlo:
Una potencia dentro de otra multiplica los exponentes.

4. Potencia de un producto

Cuando una multiplicación completa está elevada a una potencia, la potencia se reparte a cada factor.

Fórmula:

(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

Ejemplo:

(2 × 3)² = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Truco para recordarlo:
La potencia “entra” en cada número que esté dentro del paréntesis.

5. Potencia de un cociente

De forma parecida, si tienes una división dentro de una potencia, el exponente se aplica tanto al numerador como al denominador.

Fórmula:

(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ

Ejemplo:

(4 ÷ 2)³ = 4³ ÷ 2³ = 64 ÷ 8 = 8

Truco:
Piensa que el exponente se reparte igual que en el caso del producto.

6. Cualquier número elevado a 0

Todo número (excepto el 0) elevado a 0 es igual a 1.

Fórmula:

a⁰ = 1   (si a ≠ 0)

Ejemplo:

7⁰ = 1

Truco:
Piensa que al restar exponentes iguales (por ejemplo, a³ ÷ a³ = a⁰), el resultado debe ser 1, porque cualquier número dividido entre sí mismo es 1.

7. Exponente 1

Cualquier número elevado a 1 se mantiene igual.

Fórmula:

a¹ = a

Ejemplo:

5¹ = 5

Truco:
Un exponente 1 no cambia nada; simplemente confirma que la base se mantiene.

8. Exponentes negativos

Un exponente negativo indica el inverso multiplicativo de la potencia.

Fórmula:

a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ

Ejemplo:

2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1 ÷ 8 = 0.125

Truco para recordarlo:
Un exponente negativo “da la vuelta” al número: lo lleva al denominador.

Cómo recordar fácilmente las leyes de la potenciación

Aquí tienes una tabla resumen con todas las leyes de la potenciación:

Un truco mnemotécnico que suele funcionar muy bien es este:

Multiplico → sumo,
Divido → resto,
Potencio → multiplico,
Negativo → doy la vuelta.

Si recuerdas esa frase, tendrás casi todas las leyes de la potenciación controladas.

Ejemplos prácticos para que no se te olviden

Ejemplo 1: Simplificar una expresión

2³ × 2⁴ ÷ 2²

Paso 1: Multiplicamos las potencias con la misma base:

2³ × 2⁴ = 2⁷

Paso 2: Dividimos por 2²:

2⁷ ÷ 2² = 2⁵ = 32

Resultado: 32

Ejemplo 2: Potencia de potencia

(5²)³ = 5⁶ = 15625

Multiplicamos los exponentes: 2 × 3 = 6.
Fácil y rápido.

Ejemplo 3: Potencia de producto

(2 × 4)² = 2² × 4² = 4 × 16 = 64

Si lo haces directamente: 8² = 64, da el mismo resultado.

Ejemplo 4: Exponente negativo

10⁻² = 1 ÷ 10² = 1 ÷ 100 = 0.01

Ejemplo 5: Combinando varias leyes

(3² × 3³)²

Primero aplicamos el producto de potencias (sumamos los exponentes):

3² × 3³ = 3⁵

Luego aplicamos la potencia de potencia (multiplicamos los exponentes):

(3⁵)² = 3¹⁰ = 59049

Resultado: 59049

Aplicaciones de las leyes de la potenciación

Entender bien las leyes de la potenciación no solo te sirve para aprobar exámenes, sino que también tiene aplicaciones reales en campos como:

• Física: al trabajar con magnitudes (por ejemplo, áreas y volúmenes).

• Informática: para calcular potencias de 2 en bits y bytes (2⁸ = 256).

• Economía: en el crecimiento compuesto o los intereses.

• Ciencia: para representar números muy grandes o muy pequeños mediante notación científica (3 × 10⁸).

Por ejemplo, si quieres calcular cuántas combinaciones posibles tiene una contraseña de 8 caracteres con 26 letras, aplicas directamente la potenciación:

26⁸ = 208,827,064,576 combinaciones

Y ahí estás usando de forma práctica una de las leyes de la potenciación.

Errores comunes que debéis evitar

1. Sumar bases en lugar de multiplicarlas.
   Error: 2³ + 2³ = 2⁶ ❌
   Correcto: 2³ + 2³ = 8 + 8 = 16 ✅

2. Aplicar reglas con bases diferentes.
   Error: 2³ × 3³ = 2⁶ ❌
   Correcto: 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³ ✅

3. Olvidar el orden de las operaciones.
   Siempre hay que seguir la jerarquía: paréntesis → potencias → multiplicación/división → suma/resta.

Conclusión

Dominar las leyes de la potenciación es como aprender las reglas de un juego: al principio parecen muchas, pero en cuanto las usas un par de veces, todo cobra sentido.

Recuerda los tres pilares fundamentales:

• Misma base → suma o resta exponentes según multipliques o dividas.

• Potencia de potencia → multiplica los exponentes.

• Exponentes negativos → invierte la fracción.

Una vez tengas claro eso, ninguna expresión con potencias te volverá a intimidar.

Y lo mejor: cuanto más practiques, más intuitivo se vuelve. Así que coge lápiz y papel, inventa tus propios ejemplos y comprueba por ti mismo cómo funcionan las leyes de la potenciación.

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