Los métodos numéricos con Python para la resolución de EDOs y EDPs se han convertido en protagonista y los sistemas de programación para la resolución de problemas de la vida cotidiana están en auge, por lo que es importante entenderlos, así como también comprender las ecuaciones diferenciales. Por eso, antes de empezar a hablar sobre la programación de métodos numéricos con Python, se debe conocer más sobre dichas ecuaciones.
Las ecuaciones diferenciales (tanto EDOs como EDPs) suelen utilizarse para analizar los cambios que se presentan en un proceso o actividad. Esto de tal forma que se pueda estudiar su comportamiento en un tiempo determinado.
Para ello se tiene una variable y unas tasas de cambio que corresponden a las derivadas de cierta función. Es importante además entender que existen ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) y parciales (EDPs). Las ecuaciones diferenciales ordinarias están relacionadas a la misma variable en todo el sistema de la ecuación, pero si la ecuación tiene relacionadas varias variables se habla de ecuación diferencial parcial.
Algo más sobre la solución usando métodos numéricos con Python
Para resolver un sistema de métodos numéricos avanzado de Python como los mencionados anteriormente, se debe conocer un poco más sobre el proceso de solución. Teniendo presente el orden de la ecuación dado por el mayor exponente de la derivada, se procede a hacer el análisis. De aquí se analiza si el método de resolución puede ser por ecuaciones diferenciales separables, de tal forma que se puedan separar y factorizar.
Por otro lado, se encuentran las ecuaciones diferenciales lineales en las que se debe multiplicar por el factor de integración y luego resolver la integral de forma analítica. Es crucial tener claro que en las ecuaciones diferenciales parciales se debe hacer un cambio de variable que permita la resolución de la ecuación.
Para programar los métodos numéricos con Python que resuelvan estas ecuaciones, se deben tener en cuenta las condiciones de frontera. A continuación se procede a usar varios paquetes que funcionan como complementos en la programación de las ecuaciones diferenciales como lo son NumPy, SymPy y SciPy. Para ello se utiliza el código “sympy.pdsolve” el cual solo ayuda para solucionar ecuaciones de primer orden.
¿Y para casos más avanzados?
Cuando se requiere solucionar casos más avanzados, se puede hacer una separación inicial de variables y ahí hacer uso del código para mayor simplicidad.
También se pueden explorar otras funciones y códigos que permitan resolver ecuaciones con métodos numéricos avanzados de Python. Todo esto ayuda a facilitar y reducir una cantidad de pasos que incluyen álgebra, integración y derivación, de acuerdo a lo que implique el problema.
Es importante recalcar que el paquete de SymPy permite resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, colocando las condiciones iniciales del problema y la instrucción “sympy.pdsolve”. Además, a las ecuaciones diferenciales ordinarias se le puede graficar el campo de dirección con el código “campo_dir” y las soluciones de la EDO.
Otro método utilizado en la solución de ecuaciones diferenciales es utilizando el método Laplace que ofrece la transformada a cierto tipo de ecuación diferencial. Para resolverlo mediante métodos numéricos en Python se utiliza SymPy y la instrucción “sympy_eq (nombre de la ecuación diferencial)”. De forma sucesiva se puede ver la importancia que va tomando la programación en Python para facilitar la resolución de ecuaciones diferenciales.
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