Números reales: qué son, clasificación, ejemplos y ejercicios

Los números reales aparecen constantemente en matemáticas: cuando contamos objetos, expresamos una deuda, medimos una longitud o trabajamos con cantidades como π o √2.

Pero no todos los números tienen las mismas características. Algunos sirven para contar, otros permiten representar cantidades negativas, algunos pueden escribirse como una fracción y otros no.

En este artículo aprenderás qué son los números reales, cómo se clasifican y, sobre todo, cómo reconocer a qué conjunto pertenece cada número. Empezaremos desde cero y utilizaremos ejemplos sencillos para entender cada concepto.

¿Qué son los números reales?

Los números reales son todos los números que podemos representar mediante un punto en una recta numérica.

El conjunto de los números reales se representa con el símbolo:

ℝ

Dentro de ℝ encontramos números muy diferentes. Por ejemplo:

• 5
• 0
• -12
• 1/2
• 0,75
• √2
• π

Todos ellos son números reales.

La idea importante es que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales.

Esto significa que dentro de los números reales encontramos números tan familiares como 2 o -5, pero también otros como π o √2.

Para entender mejor esta idea, primero necesitamos conocer los diferentes conjuntos de números que forman ℝ.

Clasificación de los números reales

Los números reales pueden clasificarse en diferentes conjuntos según sus características.

Los principales que vamos a estudiar son:

• números naturales (ℕ),
• números enteros (ℤ),
• números racionales (ℚ),
• números irracionales,
• números reales (ℝ).

Estos conjuntos no están completamente separados. Algunos están contenidos dentro de otros.

La relación fundamental es:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

El símbolo ⊂ indica que un conjunto está contenido en otro.

Veamos qué significa.

Números naturales (ℕ)

Los números naturales son los que utilizamos principalmente para contar.

Por ejemplo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Se representan mediante el símbolo:

ℕ

Según la convención utilizada, el número 0 puede incluirse o no dentro de los números naturales. Por eso podemos encontrar dos definiciones:

ℕ = {1, 2, 3, 4, ...}

o bien:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Ambas convenciones se utilizan en matemáticas. Lo importante es saber cuál se está empleando en cada contexto.

Ejemplos de números naturales:

3, 17, 100, 245

En cambio, -3, 1/2 y π no son números naturales.

Números enteros (ℤ)

Los números enteros amplían el conjunto de los naturales incorporando los números negativos y el cero.

Se representan mediante:

ℤ

Podemos escribirlos así:

ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Por ejemplo:

-15, -2, 0, 8 y 73

son números enteros.

Todo número natural es también entero. Por eso:

ℕ ⊂ ℤ

Sin embargo, no todos los enteros son naturales. Por ejemplo, -4 es entero, pero no natural.

Números racionales (ℚ)

Un número racional es aquel que puede escribirse como el cociente de dos números enteros:

a/b

donde a y b son enteros y b ≠ 0.

El conjunto de los números racionales se representa mediante:

ℚ

Por ejemplo:

1/2, 3/4, -7/3 y 12/5

son números racionales.

Pero hay algo muy importante: los números enteros también son racionales.

Por ejemplo:

3 = 3/1

y:

-7 = -7/1

Por tanto:

ℤ ⊂ ℚ

También son racionales los decimales exactos, como:

0,75

porque:

0,75 = 75/100 = 3/4

Y los decimales periódicos también son racionales. Por ejemplo:

0,333... = 1/3

Por tanto, que un número tenga infinitas cifras decimales no significa automáticamente que sea irracional.

Esta diferencia será especialmente importante más adelante.

Números irracionales

Los números irracionales son números reales que no pueden escribirse como una fracción de dos números enteros.

Su expresión decimal tiene infinitas cifras y no presenta un período que se repita indefinidamente.

Algunos ejemplos conocidos son:

√2, √5, π

Por ejemplo:

√2 ≈ 1,41421356...

Sus cifras decimales continúan indefinidamente sin formar un período repetitivo.

Lo mismo ocurre con π:

π ≈ 3,14159265...

Los números irracionales pertenecen a ℝ, pero no pertenecen a ℚ.

Es decir:

√2 ∈ ℝ

pero:

√2 ∉ ℚ

Los símbolos ∈ y ∉ significan, respectivamente, «pertenece a» y «no pertenece a».

Números reales (ℝ)

Finalmente llegamos al conjunto que engloba a todos los anteriores.

Los números reales están formados por:

números racionales + números irracionales

Por tanto, cualquier número racional es real y cualquier número irracional también es real.

La cadena de inclusión que debemos recordar es:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Además, los irracionales forman la parte de ℝ que queda fuera de ℚ.

Podemos resumirlo así:

Fíjate en algo importante: un mismo número puede pertenecer a varios conjuntos a la vez. El número 5, por ejemplo, es natural, entero, racional y real.

Si quieres trabajar esta clasificación desde la base y verla aplicada en más ejemplos y ejercicios, puedes continuar con la lección de Números reales de mi curso Aritmética desde Cero, donde desarrollamos estos conceptos paso a paso.

Diferencia entre números racionales e irracionales

Esta es una de las partes que más dudas suele generar, así que merece la pena detenernos en ella.

La diferencia fundamental es la siguiente:

Un número racional puede escribirse como una fracción de dos enteros. Un número irracional no puede escribirse de esa forma.

Además, podemos reconocerlos por su desarrollo decimal.

¿Cómo son los decimales de un número racional?

Un número racional puede tener un decimal:

• exacto, o
• periódico.

Un decimal exacto termina.

Por ejemplo:

0,75 = 3/4

Un decimal periódico tiene una o varias cifras que se repiten indefinidamente.

Por ejemplo:

0,333... = 1/3

Aquí el 3 se repite sin terminar.

Otro ejemplo sería:

0,121212...

donde se repite el bloque 12.

Todos estos números son racionales.

¿Cómo son los decimales de un número irracional?

Un número irracional tiene infinitas cifras decimales, pero no existe un bloque finito de cifras que se repita periódicamente para siempre.

Por ejemplo:

√2 = 1,414213562...

o:

π = 3,141592653...

Son decimales infinitos no periódicos.

Ejemplos importantes

Veamos los ejemplos propuestos uno a uno:

3 es racional porque podemos escribirlo como 3/1.

-7 es racional porque podemos escribirlo como -7/1.

1/2 es racional porque ya está expresado como una fracción de enteros.

0,75 es racional porque:

0,75 = 75/100 = 3/4

0,333... es racional porque es un decimal periódico:

0,333... = 1/3

√2 es irracional.

√5 también es irracional.

π es irracional.

Hay una precisión importante respecto a las raíces cuadradas: no todas las raíces cuadradas son irracionales.

Por ejemplo:

√9 = 3

Como 3 es racional, √9 también lo es.

En cambio, √5 es irracional porque 5 no es el cuadrado de ningún número entero y, más precisamente, su raíz cuadrada no puede expresarse como cociente de dos enteros.

Cómo saber a qué conjunto pertenece un número

Cuando aparezca un ejercicio de clasificación, podemos seguir un procedimiento sencillo.

Paso 1: ¿Es un número natural?

Pregúntate si es uno de los números utilizados para contar, teniendo en cuenta la convención adoptada respecto al 0.

Por ejemplo:

8

es natural.

Si lo es, automáticamente también es entero, racional y real:

8 ∈ ℕ, ℤ, ℚ y ℝ

Paso 2: Si no es natural, ¿es entero?

Comprueba si es un número sin parte decimal o fraccionaria.

Por ejemplo:

-6

no es natural, pero sí entero.

Como todo entero es racional:

-6 ∈ ℤ, ℚ y ℝ

Paso 3: Si no es entero, ¿puede expresarse como fracción de enteros?

Si puede escribirse como:

a/b, con a, b ∈ ℤ y b ≠ 0,

es racional.

Aquí entran las fracciones, los decimales exactos y los decimales periódicos.

Por ejemplo:

0,4 = 4/10 = 2/5

Por tanto, 0,4 es racional y real.

Paso 4: Si es real pero no racional, es irracional

Si el número no puede escribirse como cociente de dos enteros, pero pertenece a la recta real, entonces es irracional.

Por ejemplo:

√7

es irracional.

También es real:

√7 ∈ ℝ

Una regla práctica

Podemos resumir el procedimiento con estas preguntas:

1. ¿Es natural?
2. Si no, ¿es entero?
3. Si no, ¿es racional?
4. Si no es racional pero es un número real, entonces es irracional.

Recuerda que normalmente queremos indicar todos los conjuntos a los que pertenece, no solamente el conjunto más pequeño.

Ejemplos resueltos paso a paso

Vamos a aplicar el procedimiento anterior a diferentes casos.

¿A qué conjuntos pertenece -4?

Primero comprobamos si es natural.

No, porque es negativo.

Después comprobamos si es entero.

Sí:

-4 ∈ ℤ

Además:

-4 = -4/1

Por tanto, también es racional:

-4 ∈ ℚ

Y todo número racional es real:

-4 ∈ ℝ

Conclusión:

-4 ∈ ℤ, ℚ y ℝ

¿0,333... es racional?

Sí.

Aunque tiene infinitas cifras decimales, observamos que el 3 se repite periódicamente:

0,333...

De hecho:

0,333... = 1/3

Como puede expresarse como cociente de dos enteros, es racional.

Por tanto:

0,333... ∈ ℚ y ℝ

Este ejemplo es especialmente importante porque demuestra que decimal infinito no significa necesariamente irracional.

¿√5 es racional o irracional?

√5 no es una raíz cuadrada exacta.

Sabemos que:

2² = 4

y:

3² = 9

Por tanto, √5 se encuentra entre 2 y 3, pero no es un número entero.

Además, √5 no puede escribirse como cociente de dos enteros. Su desarrollo decimal es infinito y no periódico:

√5 ≈ 2,2360679...

Por tanto:

√5 es irracional y real.

¿√16 es irracional?

No.

Es fácil pensar que cualquier número con una raíz cuadrada es irracional, pero eso sería incorrecto.

Calculamos:

√16 = 4

Y 4 es natural.

Por tanto:

√16 ∈ ℕ, ℤ, ℚ y ℝ

¿-2,5 es racional?

Sí.

Podemos convertir el decimal en una fracción:

-2,5 = -25/10 = -5/2

Por tanto:

-2,5 ∈ ℚ y ℝ

No es entero ni natural.

¿0 es racional?

Sí.

Podemos escribir:

0 = 0/1

Por tanto:

0 ∈ ℚ y ℝ

Además, 0 es un número entero:

0 ∈ ℤ

Respecto a ℕ, dependerá de la convención utilizada, como hemos explicado anteriormente.

Los números reales en la recta numérica

Otra forma muy útil de entender los números reales es mediante la recta real.

Imagina una línea horizontal en la que colocamos el 0.

A la derecha situamos los números positivos:

1, 2, 3, 4, ...

Y a la izquierda, los negativos:

-1, -2, -3, -4, ...

Pero entre esos números también existen infinitos números.

Por ejemplo, entre 0 y 1 encontramos:

1/2 = 0,5

También encontramos:

1/4 = 0,25

y muchos otros.

De hecho, entre dos números reales distintos existen infinitos números reales.

Los irracionales también pueden representarse en esta recta. Por ejemplo:

√2 ≈ 1,414

se encuentra entre 1 y 2.

Y:

π ≈ 3,142

se encuentra entre 3 y 4.

Por tanto, a cada número real le corresponde un punto de la recta real y, recíprocamente, cada punto de la recta real representa un número real.

Esta idea será muy útil más adelante para estudiar intervalos, desigualdades, valor absoluto y otros conceptos matemáticos.

Ejercicios para practicar

Intenta resolver estos ejercicios sin mirar todavía las soluciones.

En cada caso, indica a qué conjuntos pertenece el número entre ℕ, ℤ, ℚ, irracionales y ℝ. Recuerda indicar todos los conjuntos correspondientes.

1. 12
2. -9
3. 3/5
4. 0,25
5. 0,777...
6. √3
7. √25
8. π
9. -1,75
10. 0

Antes de continuar, intenta justificar cada respuesta. No basta con decidir si un número es racional o irracional: pregúntate por qué.

Soluciones de los ejercicios

1. 12

12 es un número natural.

Por tanto, también es entero, racional y real:

12 ∈ ℕ, ℤ, ℚ y ℝ

2. -9

-9 no es natural, pero sí es entero.

Además:

-9 = -9/1

Por tanto:

-9 ∈ ℤ, ℚ y ℝ

3. 3/5

Ya está expresado como cociente de dos enteros y el denominador es distinto de cero.

Por tanto:

3/5 ∈ ℚ y ℝ

4. 0,25

Es un decimal exacto:

0,25 = 25/100 = 1/4

Por tanto:

0,25 ∈ ℚ y ℝ

5. 0,777...

Es un decimal periódico porque el 7 se repite indefinidamente.

De hecho:

0,777... = 7/9

Por tanto:

0,777... ∈ ℚ y ℝ

6. √3

√3 no puede expresarse como cociente de dos enteros.

Es un número irracional.

Por tanto:

√3 es irracional y pertenece a ℝ.

7. √25

Primero debemos calcular la raíz:

√25 = 5

Por tanto, no es irracional. Como 5 es natural:

√25 ∈ ℕ, ℤ, ℚ y ℝ

8. π

π es uno de los ejemplos más conocidos de número irracional.

Su desarrollo decimal es infinito y no periódico.

Por tanto:

π es irracional y pertenece a ℝ.

9. -1,75

Es un decimal exacto y podemos convertirlo en una fracción:

-1,75 = -175/100 = -7/4

Por tanto:

-1,75 ∈ ℚ y ℝ

No pertenece a ℤ ni a ℕ.

10. 0

0 es entero.

También es racional porque:

0 = 0/1

Por tanto:

0 ∈ ℤ, ℚ y ℝ

Su pertenencia a ℕ dependerá de la convención utilizada para definir los números naturales.

Resumen: qué debes recordar sobre los números reales

Los números reales (ℝ) son todos los números que pueden representarse en la recta real.

Dentro de ellos encontramos los números racionales y los irracionales.

La relación fundamental entre los principales conjuntos es:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Esto significa que todo natural es entero, todo entero es racional y todo racional es real.

Los números racionales pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Sus expresiones decimales son exactas o periódicas.

Los números irracionales no pueden expresarse como cociente de dos enteros. Su desarrollo decimal es infinito y no periódico. Ejemplos importantes son √2, √5 y π.

Y recuerda una idea especialmente útil al hacer ejercicios: un número puede pertenecer a varios conjuntos al mismo tiempo. Por ejemplo, 5 pertenece a ℕ, ℤ, ℚ y ℝ.

Los números reales son la primera sección de Aritmética desde Cero, ya que constituyen una de las bases necesarias para comprender los siguientes temas de aritmética. Si quieres continuar aprendiendo desde cero, en el curso encontrarás explicaciones paso a paso, ejemplos y ejercicios para avanzar progresivamente desde estos primeros conceptos.