Números enteros: qué son, ejemplos y operaciones

Los números enteros aparecen cuando los números naturales ya no son suficientes para representar una situación.

Por ejemplo, podemos utilizar el número 5 para indicar que tenemos 5 euros. Pero ¿qué ocurre si debemos 5 euros? ¿O si la temperatura está 5 grados por debajo de cero?

Para representar estas situaciones necesitamos los números negativos. Si reunimos los números negativos, el cero y los números positivos, obtenemos los números enteros.

En este artículo aprenderás qué son los números enteros, cómo representarlos en la recta numérica, cómo compararlos y las ideas fundamentales para operar con ellos.

¿Qué son los números enteros?

Los números enteros son los números que no tienen parte decimal ni fraccionaria y que pueden ser positivos, negativos o cero.

Algunos ejemplos de números enteros son:

• −8
• −3
• −1
• 0
• 2
• 7
• 15

El conjunto de todos los números enteros se representa mediante la letra ℤ:

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los puntos suspensivos indican que podemos continuar indefinidamente en ambas direcciones. No existe un número entero positivo más grande ni un número entero negativo más pequeño.

Dentro de ℤ encontramos tres tipos de números:

• Enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Enteros negativos: −1, −2, −3, −4, −5, ...
• El cero: 0.

El cero es un número entero, pero no es positivo ni negativo.

¿Qué números no son enteros?

No todos los números pertenecen al conjunto de los enteros.

Por ejemplo:

1,5 no es un número entero, porque tiene una parte decimal.

2/3 tampoco es un número entero, porque representa una cantidad situada entre 0 y 1.

En cambio, aunque −4 tenga un signo negativo, sí es un número entero. El signo no determina si un número es entero; lo importante es que represente una cantidad completa, sin una parte decimal o fraccionaria.

También conviene tener cuidado con fracciones como:

6/3 = 2

Aunque 6/3 está escrito como una fracción, su valor es exactamente 2. Por tanto, el número que representa sí es entero.

Números enteros positivos y negativos

Los números positivos resultan bastante intuitivos porque estamos acostumbrados a utilizarlos para contar.

Los números negativos pueden resultar más extraños al principio. Sin embargo, son necesarios para representar muchas situaciones cotidianas.

Temperaturas por encima y por debajo de cero

Imagina que un termómetro marca 6 °C. Podemos representar esa temperatura mediante:

+6 °C

Si la temperatura baja hasta 4 grados bajo cero, escribimos:

−4 °C

El signo nos permite distinguir entre temperaturas situadas a un lado y a otro del cero.

Plantas de un edificio

También podemos imaginar un edificio en el que la planta de entrada representa el nivel 0.

Las plantas superiores podrían representarse mediante:

+1, +2, +3, ...

Los sótanos podrían representarse mediante:

−1, −2, −3, ...

De esta forma, el signo indica en qué dirección nos encontramos respecto a un punto de referencia.

Altitud

El nivel del mar puede utilizarse como referencia.

Una montaña situada a 800 metros sobre el nivel del mar puede representarse como:

+800 m

Un punto situado a 20 metros por debajo del nivel del mar puede representarse como:

−20 m

Dinero, saldos y deudas

Supongamos que utilizamos los números positivos para representar el dinero que tenemos y los negativos para representar una deuda.

Tener 50 € podría representarse mediante:

+50 €

Deber 30 € podría representarse mediante:

−30 €

Esta es una de las ideas más importantes para comprender los números negativos: permiten representar cantidades situadas por debajo de un punto que hemos elegido como referencia.

No debemos pensar que un número negativo es simplemente un número «extraño». Tiene un significado concreto dependiendo del contexto.

Representación de números enteros en la recta numérica

La recta numérica es una de las mejores herramientas para comprender los números enteros.

Podemos imaginarla así:

← −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 →

El cero se encuentra en el centro de este fragmento de la recta.

A su derecha aparecen los números positivos:

1, 2, 3, 4, ...

A su izquierda aparecen los números negativos:

−1, −2, −3, −4, ...

La idea fundamental es:

Al desplazarnos hacia la derecha, los números aumentan.

Al desplazarnos hacia la izquierda, los números disminuyen.

Por ejemplo, −2 está a la derecha de −5. Por eso:

−2 > −5

Esta representación será especialmente útil cuando tengamos que comparar números enteros.

Números opuestos

Dos números son opuestos cuando se encuentran a la misma distancia del cero, pero en lados diferentes de la recta numérica.

Por ejemplo:

• 3 y −3 son opuestos.
• 7 y −7 son opuestos.
• 15 y −15 son opuestos.

El opuesto de 4 es −4.

El opuesto de −8 es 8.

El cero es un caso especial: el opuesto de 0 es 0.

Además, si sumamos dos números opuestos, obtenemos cero:

5 + (−5) = 0

Esta propiedad será muy útil cuando estudiemos la suma de números enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número indica su distancia al cero en la recta numérica.

Se representa mediante dos barras verticales:

|5| = 5

Como 5 está a 5 unidades del cero, su valor absoluto es 5.

¿Qué ocurre con −5?

También está a 5 unidades del cero, aunque se encuentre en el lado contrario:

|−5| = 5

Por tanto:

|5| = |−5| = 5

El valor absoluto nunca expresa una distancia negativa.

Otros ejemplos:

|−9| = 9

|3| = 3

|0| = 0

Una forma sencilla de entenderlo es preguntarnos:

¿A cuántas unidades del cero se encuentra este número?

Cómo comparar números enteros

Comparar números enteros significa determinar cuál es mayor, cuál es menor o si ambos son iguales.

Para ello utilizamos:

• > significa «mayor que».
• < significa «menor que».
• = significa «igual a».

La recta numérica nos proporciona una regla muy sencilla:

Entre dos números, el que está más a la derecha en la recta numérica es el mayor.

Por ejemplo:

5 > 2

El 5 está más a la derecha que el 2.

Comparar un número positivo con uno negativo también es sencillo:

−3 < 2

El 2 está a la derecha de −3.

De hecho, cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

Cómo comparar dos números negativos

Aquí aparece una de las confusiones más frecuentes.

¿Cuál es mayor?

−3 o −7

Puede resultar tentador pensar que −7 es mayor porque 7 es mayor que 3. Pero debemos fijarnos en su posición en la recta:

← −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 →

−3 está más a la derecha que −7.

Por tanto:

−3 > −7

También podemos razonarlo con una temperatura.

Una temperatura de −3 °C es más alta que una temperatura de −7 °C. Por eso −3 es mayor que −7.

Otro ejemplo:

−10 < −4

Porque −10 está más a la izquierda en la recta numérica.

Una forma práctica de evitar errores consiste en imaginar siempre la recta: cuanto más a la derecha esté un número, mayor es.

Operaciones con números enteros

Con los números enteros podemos realizar las operaciones aritméticas habituales: suma, resta, multiplicación y división.

Aquí veremos únicamente las ideas fundamentales para entender cómo funcionan.

Suma de números enteros

Si los dos números tienen el mismo signo, sumamos sus valores y mantenemos ese signo:

3 + 4 = 7

(−3) + (−4) = −7

Cuando tienen signos diferentes, podemos interpretar la suma como movimientos en direcciones contrarias.

Por ejemplo:

5 + (−2) = 3

Partimos de 5 y sumar −2 significa desplazarnos dos posiciones hacia la izquierda:

5 → 4 → 3

Por tanto:

5 + (−2) = 3

Otro ejemplo:

−5 + 2 = −3

Partimos de −5 y avanzamos dos posiciones hacia la derecha.

Resta de números enteros

Restar un número equivale a sumar su opuesto.

Por ejemplo:

5 − 3 = 5 + (−3) = 2

Y:

4 − (−2) = 4 + 2 = 6

Este segundo caso suele resultar sorprendente al principio. La clave está en no pensar únicamente en «dos signos menos juntos», sino en el significado de la operación:

Restar −2 significa sumar el opuesto de −2.

Como el opuesto de −2 es 2:

4 − (−2) = 4 + 2 = 6

Multiplicación de números enteros

Para multiplicar números enteros, además de multiplicar sus valores, debemos prestar atención a sus signos.

Por ejemplo:

3 · 4 = 12

(−3) · 4 = −12

3 · (−4) = −12

(−3) · (−4) = 12

En resumen:

• Signos iguales → resultado positivo.
• Signos diferentes → resultado negativo.

División de números enteros

En la división utilizamos la misma regla de los signos que en la multiplicación.

Por ejemplo:

12 ÷ 3 = 4

−12 ÷ 3 = −4

12 ÷ (−3) = −4

−12 ÷ (−3) = 4

Sin embargo, debemos hacer una precisión importante: el resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.

Por ejemplo:

5 ÷ 2 = 2,5

El 5 y el 2 son enteros, pero 2,5 no lo es.

Ejercicios de números enteros

Ahora puedes comprobar si has entendido los conceptos principales. Intenta resolver estos ejercicios antes de consultar las soluciones.

Ejercicio 1: identificar números enteros

Indica cuáles de los siguientes números son enteros:

−8, 1,5, 0, 7, 2/3, −12

Ejercicio 2: positivos y negativos

Indica si cada número es positivo, negativo o ninguno de los dos:

8, −4, 0, −15, 23

Ejercicio 3: situaciones cotidianas

Representa mediante un número entero cada situación:

a) Una temperatura de 6 grados bajo cero.

b) Una altura de 250 metros sobre el nivel del mar.

c) Una deuda de 40 €.

d) El tercer sótano de un edificio si la planta de entrada es 0.

Ejercicio 4: recta numérica

Ordena los siguientes números según aparecerían en la recta numérica, de izquierda a derecha:

3, −5, 0, −2, 6

Ejercicio 5: comparar números enteros

Completa con >, < o =:

a) 5 ___ 2

b) −3 ___ 2

c) −3 ___ −7

d) −8 ___ −2

e) 0 ___ −4

Ejercicio 6: números opuestos

Escribe el número opuesto de:

a) 7

b) −12

c) 0

d) −25

Ejercicio 7: valor absoluto

Calcula:

a) |−8|

b) |5|

c) |0|

d) |−17|

Ejercicio 8: sumas y restas

Calcula:

a) 5 + (−2)

b) −4 + 7

c) −3 + (−5)

d) 8 − (−2)

Ejercicio 9: multiplicaciones y divisiones

Calcula:

a) (−3) · 4

b) (−5) · (−2)

c) −20 ÷ 4

d) −24 ÷ (−6)

Ejercicio 10: combina lo aprendido

Ordena de menor a mayor los números:

−|−6|, 4, −2, |−3|, 0

Soluciones de los ejercicios de números enteros

Solución del ejercicio 1

Los números eran:

−8, 1,5, 0, 7, 2/3, −12

Los enteros son:

−8, 0, 7 y −12

1,5 no es entero porque tiene parte decimal.

2/3 tampoco es entero porque su valor no corresponde a un número entero.

Solución del ejercicio 2

8 es positivo.

−4 es negativo.

0 no es positivo ni negativo.

−15 es negativo.

23 es positivo.

Recuerda que el cero pertenece a los números enteros, aunque no pertenece ni a los positivos ni a los negativos.

Solución del ejercicio 3

a) Seis grados bajo cero:

−6 °C

b) 250 metros sobre el nivel del mar:

+250 m

c) Una deuda de 40 €:

−40 €

d) Tercer sótano:

−3

En todos estos casos hemos elegido un punto de referencia y el signo indica a qué lado de ese punto se encuentra la cantidad.

Solución del ejercicio 4

Debíamos ordenar:

3, −5, 0, −2, 6

De izquierda a derecha en la recta numérica quedan:

−5, −2, 0, 3, 6

Por tanto:

−5 < −2 < 0 < 3 < 6

Solución del ejercicio 5

a) 5 > 2

b) −3 < 2

c) −3 > −7

d) −8 < −2

e) 0 > −4

Para resolver las comparaciones entre números negativos, recuerda su posición en la recta numérica. Por ejemplo, −3 está más a la derecha que −7, así que −3 es mayor.

Solución del ejercicio 6

El opuesto de 7 es:

−7

El opuesto de −12 es:

12

El opuesto de 0 es:

0

El opuesto de −25 es:

25

Los números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero, pero en lados diferentes de la recta.

Solución del ejercicio 7

a) |−8| = 8

b) |5| = 5

c) |0| = 0

d) |−17| = 17

El valor absoluto mide la distancia al cero. Por eso no puede ser negativo.

Solución del ejercicio 8

a) 5 + (−2) = 3

Desde 5 nos desplazamos dos posiciones hacia la izquierda.

b) −4 + 7 = 3

Desde −4 avanzamos siete posiciones hacia la derecha y llegamos a 3.

c) −3 + (−5) = −8

Sumamos dos números negativos. Avanzamos cinco unidades más hacia la izquierda desde −3 y llegamos a −8.

d) 8 − (−2) = 10

Restar −2 equivale a sumar su opuesto:

8 − (−2) = 8 + 2 = 10

Solución del ejercicio 9

a) (−3) · 4 = −12

Los signos son diferentes, así que el resultado es negativo.

b) (−5) · (−2) = 10

Los signos son iguales, así que el resultado es positivo.

c) −20 ÷ 4 = −5

Los signos son diferentes, así que el resultado es negativo.

d) −24 ÷ (−6) = 4

Los signos son iguales, así que el resultado es positivo.

Solución del ejercicio 10

Tenemos:

−|−6|, 4, −2, |−3|, 0

Primero calculamos los valores absolutos:

|−6| = 6

Por tanto:

−|−6| = −6

Y:

|−3| = 3

Ahora debemos ordenar:

−6, 4, −2, 3, 0

De menor a mayor:

−6 < −2 < 0 < 3 < 4

Este ejercicio combina valor absoluto y comparación de números enteros, por lo que conviene resolver cada parte antes de intentar ordenar los números.

Errores frecuentes con los números enteros

Aprender números enteros implica acostumbrarse a algunas ideas que pueden resultar poco intuitivas al principio. Estos son algunos de los errores más habituales.

Pensar que −7 es mayor que −3 porque 7 es mayor que 3

Es cierto que:

7 > 3

Pero al colocar el signo negativo delante, estamos comparando números situados al otro lado del cero:

−7 < −3

En la recta numérica, −7 está más a la izquierda que −3.

Si tienes dudas al comparar números negativos, imagina una temperatura: −3 °C es una temperatura mayor que −7 °C.

Pensar que el cero es positivo

El cero es un número entero, pero no es positivo ni negativo.

Actúa como el punto que separa ambos grupos en la recta numérica.

Confundir el signo negativo con una resta

En:

−5

el signo − forma parte del número e indica que estamos ante un número negativo.

En:

8 − 5

el símbolo − representa una operación: la resta.

Aunque utilizamos el mismo símbolo, no está desempeñando exactamente la misma función.

Pensar que el valor absoluto consiste en eliminar siempre el signo menos

Esta idea puede funcionar en ejemplos sencillos, pero no explica realmente qué significa el valor absoluto.

Es mejor recordar su definición:

El valor absoluto es la distancia de un número al cero.

Por eso:

|−7| = 7

pero también:

|7| = 7

No estamos simplemente «quitando un menos»; estamos calculando una distancia.

Confundir −8 con |−8|

No representan lo mismo:

−8 es un número negativo.

En cambio:

|−8| = 8

El segundo expresa la distancia de −8 al cero.

Aplicar las reglas de los signos a cualquier operación

La conocida regla de «más por más, más; menos por menos, más...» corresponde a la multiplicación y la división.

No debemos aplicarla automáticamente a sumas como:

−5 + 2

Aquí no estamos multiplicando signos. Debemos comprender la suma y obtener:

−5 + 2 = −3

Distinguir qué operación estamos realizando evita muchos errores.

Resumen: qué debes recordar sobre los números enteros

Los números enteros incluyen los números negativos, el cero y los números positivos:

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

En la recta numérica, los números aumentan hacia la derecha y disminuyen hacia la izquierda. Esta idea permite comparar incluso números negativos:

−3 > −7

Dos números opuestos, como 5 y −5, se encuentran a la misma distancia del cero pero en lados diferentes.

El valor absoluto indica la distancia de un número al cero:

|−5| = |5| = 5

También podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros, aunque cada operación tiene sus propias reglas y conviene estudiarlas por separado.

Si entiendes bien la recta numérica, los números positivos y negativos, los opuestos y el valor absoluto, tendrás una base sólida para aprender esas operaciones.

Continúa aprendiendo aritmética

Los números enteros son la segunda sección del curso Aritmética desde cero, donde este tema se estudia de forma ordenada y paso a paso para construir una base sólida antes de avanzar hacia otros conceptos.

Si quieres profundizar en lo que has aprendido en este artículo y continuar después con el resto de la aritmética, puedes hacerlo en el curso Aritmética desde cero:

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El curso está pensado para avanzar desde los fundamentos, comprendiendo el razonamiento detrás de cada concepto y operación antes de pasar al siguiente.