Contenidos
- ¿Qué es un número racional?
- ¿Qué relación existe entre los números racionales y los decimales?
- Tipos de números decimales racionales
- Cómo convertir una fracción en un número decimal
- Cómo convertir un decimal en una fracción
- Ejemplos de números racionales y decimales
- Ejercicios de números racionales y decimales
- Soluciones
- Aprende números racionales y decimales desde cero
- Preguntas Frecuentes
Cuando pagamos 2,50 € por un producto, medimos una tabla de 1,75 metros o dividimos una pizza y nos comemos 1/2, estamos utilizando números que aparecen constantemente en nuestra vida cotidiana. A primera vista, 2,50, 1,75 y 1/2 parecen formas distintas de escribir cantidades. Sin embargo, todos estos números tienen algo en común: son números racionales.
Entender la relación entre números racionales y decimales nos permite pasar de fracciones a decimales y viceversa, interpretar correctamente cantidades y comprender mejor muchas operaciones básicas de aritmética.
¿Qué es un número racional?
Un número racional es cualquier número que puede expresarse como una fracción de la forma:
a/b
donde:
- a es un número entero y se llama numerador.
- b es un número entero y se llama denominador.
- b debe ser distinto de cero.
Por ejemplo:
1/2, 3/4, −5/7 y 12/5 son números racionales porque ya están escritos como el cociente de dos números enteros.
El denominador no puede ser cero porque la división entre cero no está definida. Por tanto, una expresión como 3/0 no representa un número racional.
Los números enteros también son racionales
Hay casos menos evidentes. Por ejemplo, el número 5 no parece una fracción, pero podemos escribirlo así:
5 = 5/1
Lo mismo ocurre con cualquier número entero:
−3 = −3/1
0 = 0/1
Por tanto, todos los números enteros son también números racionales.
Muchos números decimales son racionales
Consideremos ahora el número decimal 0,5.
Podemos escribirlo como:
0,5 = 5/10 = 1/2
Como puede expresarse mediante una fracción de dos números enteros, 0,5 es racional.
Lo mismo sucede con 0,75:
0,75 = 75/100 = 3/4
Pero los números racionales no se limitan a los decimales que terminan. Algunos tienen infinitas cifras decimales:
1/3 = 0,3333...
Este número también es racional porque, aunque su representación decimal no termina, podemos expresarlo exactamente mediante la fracción 1/3.
¿Qué relación existe entre los números racionales y los decimales?
Una fracción representa una división. Por tanto, podemos encontrar la representación decimal de un número racional dividiendo el numerador entre el denominador.
Veamos algunos ejemplos:
1/2 = 1 ÷ 2 = 0,5
3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75
1/3 = 1 ÷ 3 = 0,3333...
En los dos primeros ejemplos, la división termina después de un número determinado de cifras decimales.
En cambio, al dividir 1 entre 3, obtenemos:
0,333333...
El número 3 continúa repitiéndose indefinidamente.
Esto nos muestra una propiedad fundamental:
Todo número racional tiene una representación decimal que termina o que, a partir de cierto punto, repite periódicamente una o varias cifras.
Esta propiedad nos permite clasificar las representaciones decimales de los números racionales.
Tipos de números decimales racionales
Los números racionales pueden tener una representación decimal exacta o periódica. Dentro de los periódicos distinguimos entre periódicos puros y periódicos mixtos.
Decimales exactos
Un decimal exacto es aquel que tiene un número finito de cifras después de la coma.
Por ejemplo:
0,5
0,75
1,25
−2,375
Todos terminan después de una cantidad determinada de cifras.
Además, pueden escribirse como fracciones:
0,5 = 5/10 = 1/2
0,75 = 75/100 = 3/4
1,25 = 125/100 = 5/4
Por tanto, todos los decimales exactos son números racionales.
Decimales periódicos puros
Un decimal periódico tiene una o varias cifras que se repiten indefinidamente. El conjunto de cifras que se repite recibe el nombre de periodo.
Un decimal periódico puro es aquel en el que el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal.
Por ejemplo:
1/3 = 0,3333...
Aquí el periodo es 3.
Otro ejemplo:
2/11 = 0,181818...
En este caso, el periodo es 18.
Para evitar escribir infinitas cifras, suele colocarse una barra sobre las cifras que se repiten. Así, podemos representar 0,3333... como 0,\overline{3} y 0,181818... como 0,\overline{18}.
Decimales periódicos mixtos
En un decimal periódico mixto, primero aparecen una o varias cifras que no se repiten y, después, comienza el periodo.
Por ejemplo:
1/6 = 0,16666...
El primer decimal, 1, no se repite. A partir de ahí, el 6 se repite indefinidamente.
Podemos escribirlo como:
0,1\overline{6}
Otro ejemplo es:
7/12 = 0,583333...
Las cifras 5 y 8 forman la parte no periódica, mientras que el 3 se repite indefinidamente:
0,58\overline{3}
La diferencia esencial es sencilla:
| Tipo | ¿Qué ocurre después de la coma? | Ejemplo |
|---|---|---|
| Decimal exacto | Las cifras terminan | 0,75 |
| Periódico puro | El periodo empieza inmediatamente | 0,333... |
| Periódico mixto | Hay cifras no periódicas antes del periodo | 0,1666... |
La idea fundamental es que todo número racional produce un decimal exacto o periódico.
Existen también números con infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón periódico. Esos números no son racionales, sino irracionales. Por ejemplo, π es irracional. No necesitamos estudiarlos en profundidad para entender los números racionales, pero esta diferencia ayuda a reconocer la importancia de la periodicidad.
Cómo convertir una fracción en un número decimal
Para convertir una fracción a decimal, debemos recordar qué significa una fracción:
numerador / denominador = numerador ÷ denominador
Por tanto, basta con realizar la división.
Ejemplo 1: convertir 1/2 a decimal
Tenemos:
1/2
Dividimos 1 ÷ 2.
Como 2 no cabe una vez completa en 1, escribimos 0, y continuamos trabajando con décimas. Convertimos el 1 en 10 décimas:
10 ÷ 2 = 5
Por tanto:
1/2 = 0,5
La división termina, así que obtenemos un decimal exacto.
Ejemplo 2: convertir 3/4 a decimal
Calculamos:
3 ÷ 4
Como 4 es mayor que 3, comenzamos con 0,. Consideramos entonces 30 décimas:
30 ÷ 4 = 7, con resto 2.
Añadimos otro cero al resto:
20 ÷ 4 = 5
El resto pasa a ser cero y la división termina:
3/4 = 0,75
De nuevo, tenemos un decimal exacto.
Ejemplo 3: convertir 7/8 a decimal
Realizamos:
7 ÷ 8
Siguiendo la división obtenemos:
7/8 = 0,875
La división termina después de tres cifras decimales, así que 0,875 es un decimal exacto.
Podemos comprobarlo multiplicando:
0,875 × 8 = 7
Ejemplo 4: convertir 1/3 a decimal
Ahora calculamos:
1 ÷ 3
El 3 no cabe una vez completa en 1, así que comenzamos con 0,. Trabajamos con 10 décimas:
10 ÷ 3 = 3, con resto 1.
Volvemos a tener el mismo resto. Si añadimos otro cero, obtenemos otra vez:
10 ÷ 3 = 3, con resto 1.
La situación se repite indefinidamente:
1/3 = 0,333333...
La división nunca termina, pero tampoco produce cifras al azar. El 3 se repite continuamente. Por eso obtenemos un decimal periódico puro.
Cómo convertir un decimal en una fracción
El proceso inverso consiste en convertir un decimal a fracción.
La forma de hacerlo depende de si tenemos un decimal exacto o un decimal periódico.
Convertir un decimal exacto en fracción
Para convertir un decimal exacto en fracción podemos utilizar el valor posicional de sus cifras.
Veamos:
0,5
El 5 ocupa la posición de las décimas. Por tanto:
0,5 = 5/10
Ahora simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador entre 5:
5/10 = 1/2
Así que:
0,5 = 1/2
Consideremos ahora:
0,75
Tenemos dos cifras después de la coma, por lo que hablamos de centésimas:
0,75 = 75/100
Numerador y denominador son divisibles entre 25:
75 ÷ 25 = 3
100 ÷ 25 = 4
Por tanto:
0,75 = 75/100 = 3/4
Podemos aplicar una regla sencilla:
- Una cifra decimal → denominador
10. - Dos cifras decimales → denominador
100. - Tres cifras decimales → denominador
1000. - Y así sucesivamente.
Después, simplificamos la fracción siempre que sea posible.
Por ejemplo:
0,125 = 125/1000 = 1/8
Convertir un decimal periódico en fracción
Los decimales periódicos también pueden convertirse en fracciones. Para ello podemos utilizar una pequeña transformación algebraica.
Tomemos:
x = 0,3333...
Queremos descubrir qué fracción representa este número.
Como el periodo tiene una sola cifra, multiplicamos ambos lados por 10:
10x = 3,3333...
Ahora restamos la primera igualdad de la segunda:
10x − x = 3,3333... − 0,3333...
Las partes decimales periódicas se cancelan:
9x = 3
Dividimos entre 9:
x = 3/9
Simplificamos:
x = 1/3
Por tanto:
0,3333... = 1/3
Veamos otro ejemplo:
x = 0,272727...
El periodo es 27 y tiene dos cifras. Por eso multiplicamos por 100:
100x = 27,272727...
Restamos la igualdad original:
100x − x = 27,272727... − 0,272727...
Así obtenemos:
99x = 27
Por tanto:
x = 27/99 = 3/11
Luego:
0,272727... = 3/11
La idea consiste en multiplicar por una potencia de 10 adecuada para hacer coincidir las partes periódicas y poder eliminarlas mediante una resta.
Los periódicos mixtos se pueden convertir siguiendo el mismo principio, aunque requieren un paso adicional para tener en cuenta las cifras que aparecen antes del periodo.
Ejemplos de números racionales y decimales
La siguiente tabla reúne varios casos para ver cómo se relacionan las distintas representaciones:
| Número | Representación como fracción | Representación decimal | Tipo de decimal |
|---|---|---|---|
1/2 | 1/2 | 0,5 | Exacto |
3/4 | 3/4 | 0,75 | Exacto |
−1/4 | −1/4 | −0,25 | Exacto |
2 | 2/1 | 2,0 | Exacto |
0 | 0/1 | 0,0 | Exacto |
1/3 | 1/3 | 0,333... | Periódico puro |
2/11 | 2/11 | 0,181818... | Periódico puro |
1/6 | 1/6 | 0,1666... | Periódico mixto |
7/12 | 7/12 | 0,58333... | Periódico mixto |
−5/2 | −5/2 | −2,5 | Exacto |
Observa especialmente los números enteros. Aunque normalmente escribimos 2 en lugar de 2,0, su representación decimal puede considerarse terminada y, además, podemos expresarlo como 2/1. Por eso también es racional.
Ejercicios de números racionales y decimales
Intenta resolver los siguientes ejercicios antes de consultar las soluciones.
- Convierte la fracción 3/5 en un número decimal.
- Convierte 7/8 en decimal e indica qué tipo de decimal obtienes.
- Convierte 0,6 en una fracción irreducible.
- Convierte 0,125 en una fracción irreducible.
- Indica si 0,4444..., donde el 4 continúa repitiéndose indefinidamente, es un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.
- Indica qué tipo de decimal es 0,23333..., donde el 3 continúa repitiéndose indefinidamente.
- Determina cuáles de estos números son racionales: 5, −3/7, 0,25 y 0,121212....
- Una botella contiene 3/4 de litro de agua. ¿Qué cantidad representa esa fracción expresada en litros mediante un número decimal?
Soluciones
1. Convertir 3/5 en decimal
Dividimos el numerador entre el denominador:
3 ÷ 5 = 0,6
Por tanto:
3/5 = 0,6
Es un decimal exacto.
2. Convertir 7/8 en decimal
Realizamos la división:
7 ÷ 8 = 0,875
Por tanto:
7/8 = 0,875
Como la representación decimal termina, es un decimal exacto.
3. Convertir 0,6 en fracción irreducible
Como hay una cifra decimal:
0,6 = 6/10
Simplificamos dividiendo entre 2:
6/10 = 3/5
La respuesta es:
0,6 = 3/5
4. Convertir 0,125 en fracción irreducible
Hay tres cifras decimales, así que:
0,125 = 125/1000
Simplificando numerador y denominador entre 125:
125/1000 = 1/8
Por tanto:
0,125 = 1/8
5. Clasificar 0,4444...
El 4 comienza a repetirse inmediatamente después de la coma:
0,4444...
Por tanto, es un decimal periódico puro.
Además, es racional. De hecho:
0,4444... = 4/9
6. Clasificar 0,23333...
En este número:
0,23333...
el 2 no forma parte del periodo. Después de él, el 3 se repite indefinidamente.
Por tanto, es un decimal periódico mixto.
7. Determinar qué números son racionales
Los cuatro números propuestos son racionales:
5 = 5/1
−3/7 ya está expresado como fracción de enteros.
0,25 = 25/100 = 1/4
0,121212... es periódico y, por tanto, también puede expresarse como una fracción.
Así que 5, −3/7, 0,25 y 0,121212... son números racionales.
8. Expresar 3/4 de litro como decimal
Para convertir la fracción a decimal calculamos:
3 ÷ 4 = 0,75
Por tanto, una botella que contiene 3/4 de litro contiene:
0,75 litros
Este ejemplo muestra por qué las fracciones y los decimales son dos formas distintas de representar una misma cantidad.
Aprende números racionales y decimales desde cero
Comprender los números racionales implica reconocer una idea esencial: una fracción y su expresión decimal no son números diferentes, sino representaciones diferentes del mismo número.
Así:
1/2 = 0,5
3/4 = 0,75
1/3 = 0,3333...
A partir de esta relación podemos convertir fracciones en decimales, transformar decimales en fracciones y distinguir entre decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.
Este artículo te proporciona las ideas fundamentales para comprender el tema y practicar las conversiones básicas. Si quieres continuar estudiando aritmética de forma estructurada y paso a paso, puedes seguir con Aritmética desde Cero, cuyo temario incluye el trabajo con números racionales y sus representaciones decimales equivalentes.
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Preguntas Frecuentes
¿Qué son los números racionales?
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y bes distinto de cero. Por ejemplo, 1/2, −3/4, 5 y 0,75 son racionales.
¿Todos los números decimales son racionales?
No. Son racionales los decimales exactos y los decimales periódicos. Los decimales infinitos que no presentan ningún patrón periódico corresponden a números irracionales.
¿Cómo convertir una fracción en decimal?
Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo, 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75.
¿Cómo convertir un decimal exacto en fracción?
Escribe el número sin coma como numerador y utiliza 10, 100, 1000… como denominador según el número de cifras decimales. Después simplifica. Por ejemplo: 0,75 = 75/100 = 3/4.
¿Cuál es la diferencia entre un decimal periódico puro y uno mixto?
En un decimal periódico puro, el periodo comienza justo después de la coma, como 0,333.... En un periódico mixto, primero aparecen cifras que no se repiten, como en 0,1666....
