La demostración de que la raíz cuadrada de dos, √2, es un número irracional se realiza mediante el método de demostración por contradicción.
Conceptos necesarios
- Número racional: Valor que puede representarse como el cociente de dos números enteros.
- Número irracional: Valor que no puede representarse como cociente de dos números enteros.
- Número entero: Elemento del conjunto de los números naturales.
- Número par: Número entero divisible entre 2.
Demostración por contradicción: La raíz cuadrada de 2 es irracional
Empezaremos suponiendo que la raíz cuadrada de 2 es un número racional, lo cual significa que se puede expresar como una fracción irreducible en la forma p / q, donde p y q son números enteros que no tienen factores primos en común.
Entonces, podemos escribir la ecuación
Ahora, elevando ambos miembros de la igualdad al cuadrado obtenemos
Si despejamos p^2, tenemos
Esto implica que p^2 es par, ya que es el resultado de multiplicar 2 por un número entero, en este caso q^2.
Además, si p^2 es par, entonces p también debe ser par, ya que el cuadrado de un número par siempre es par. De este modo, podemos expresar p como 2m, siendo m es un número entero.
Sustituyendo p = 2m en la ecuación original, tenemos
lo cual simplifica a
y, dividiendo entre 2 toda la ecuación, obtenemos
Con el mismo razonamiento anterior, acabamos de obtener que q^2 es par y, por ende, q también es par. Es decir, q se puede expresar como 2n, siendo n un número entero.
Contradicción: La raíz cuadrada de dos no puede ser racional
Si tanto p como q son pares,
entonces tienen el factor primo común 2.
Esto contradice nuestra suposición inicial de que p / q era una fracción irreducible, lo cual nos lleva a la conclusión de que la suposición de que la raíz cuadrada de 2 es un número racional es incorrecta.
Por lo tanto, podemos concluir que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.
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