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Bienvenido al Curso de Métodos Numéricos con Python III
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IMPORTANTE: Sobre el uso de la librería sympy
Fórmula de Taylor
La regla de la Cadena
Cómo resolver EDOs de forma analítica
Introducción a problemas de valores iniciales
Teoría elemental de EDOs: Lipschitz y Convexidad
La condición suficiente de Lipschitz
Problemas bien planteados
Cálculo de la solución aproximada
Métodos de un paso. Introducción
El Método de Euler
Cota del error del método de Euler
Ejemplo de acotación del error del método de Euler
Error local de truncamiento. Introducción
Consistencia y convergencia
Métodos de Taylor. Introducción
Métodos de Taylor de orden 2
Implementación de métodos de Taylor de orden k
Solución de la Tarea
LTE en los métodos de Taylor
Ejercicios de problemas de valores iniciales. Métodos de Euler y Taylor
Solución de la Tarea
Métodos implícitos y explíctos
Método del trapecio
Convergencia del método del trapecio
Pseudocódigo y ejemplo del método del trapecio
Problemas de valores iniciales-1
Convergencia y consistencia
Cálculo del órden de consistencia
Método de Euler modificado
Pseudocódigo y ejemplo del método de Euler modificado
Método de Runge-Kutta 4
Pseudocódigo y ejemplo del método de Runge-Kutta 4
Métodos de Runge-Kutta
Consistencia en los métodos de Runge-Kutta
Convergencia en los métodos de Runge-Kutta
Condiciones de consistencia
Condiciones de consistencia para RK-4
Métodos de control de paso
Estimación del Error Local de Truncamiento
Método de Runge-Kutta-Fehlberg
Pseudocódigo y ejemplo del método del método de Runge-Kutta-Fehlberg
Ejercicios de métodos de Runge-Kutta
Solución de la Tarea
Problemas de valores iniciales-2
Introducción a los métodos multipaso
Métodos de Adams-Bashford
Consistencia de los métodos de Adams-Bashford
Métodos explícitos de Adams-Bashford
Pseudocódigo Adams-Bashford y ejemplo
Método de Adams-Bashford de orden m arbitrario
Solución de la Tarea
Métodos implícitos de Adams-Moulton
Consistencia de los métodos de Adams-Moulton
Métodos implícitos de Adams-Moulton para m = 1, 2 y 3
Pseudocódigo Adams-Moulton
Ejemplo método de Adams-Moulton
Método de Adams-Moulton de orden m arbitrario
Solución de la Tarea
Método predictor-corrector
Pseudocódigo y ejemplo método predictor-corrector
Método predictor-corrector de orden m
Solución de la Tarea
Consistencia y convergencia de los métodos predictor-corrector
Problemas de valores iniciales-3. Métodos multipaso
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Adaptación de los métodos numéricos
Método de Euler para sistemas
Método de Taylor de orden 2 para sistemas
Pseudocódigo y ejemplo método de Taylor para sistemas
Métodos de Runge-Kutta para sistemas
Pseudocódigo y ejemplo de Runge-Kutta 4 para sistemas
Ejercicios de métodos multipaso y sistemas
Solución de la Tarea
Problemas de valores iniciales-4. Sistemas de ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Ejemplo ecuación diferencial de orden superior
Método para resolver edos de orden superior
Problemas de valores iniciales-5. Ecuaciones diferenciales de orden superior
Spoiler alert: tema avanzado y más difícil de lo habitual
Estabilidad de un método numérico
Estabilidad para métodos de un paso
Estabilidad para métodos multipaso
Caso de raíces múltiples del polinomio caraterístico
Condición de raíz y tipos de estabilidad
Sistemas diferenciales tipo Stiff
Control de paso
Métodos de un paso
Métodos multipaso
Región de Estabilidad Absoluta
Ejercicios de estabilidad y sistemas Stiff
Solución de la Tarea
Problemas de valores iniciales-6. Estabilidad
Introducción
Aproximación lineal por mínimos cuadrados
Cálculo de los coeficientes
Pseudocódigo y ejemplo de aproximación lineal de mínimos cuadrados
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados
Demostración: el sistema de ecuaciones normales tiene solución única
Pseudocódigo y ejemplo de aproximación polinomial de mínimos cuadrados
Relaciones potenciales y exponenciales
Transformación logarítmica
Ejemplo de transformación logarítmica
Transformaciones logarítmicas
Solución de la tarea
Introducción a la aproximación de funciones continuas
Aproximación polinomial continua
Polinomios linealmente independientes
Función peso
Problema de aproximación con pesos
Funciones ortogonales
Polinomios de Legendre
Aproximación polinomial-1
Los Polinomios de Legendre
Solución de la Tarea
Ejercicios de aproximación por mínimos cuadrados.
Solución de la Tarea
Aproximación minimax
Ejemplo aproximación minimax
Polinomios de Chebyschev
Relación con la aproximación minimax
Coeficiente del término de mayor grado
Polinomios mónicos de Chebyschev
Relación con la norma infinito
Ejemplo de aproximación minimax con polinomios de Chebyschev
Minimización del error de interpolación
Generalización de la interpolación a un intervalo cualquiera [a,b]
Ejercicios de aproximación minimax y polinomios de Chebyschev.
Aproximación polinomial-2. Aproximación minimax
Solución de la Tarea
Introducción
Cálculo del mínimo de la función error
Expresión del término del error
Ejemplo de cálculo de serie de Fourier
Aproximación trigonométrica discreta
Pseudocódigo y ejemplo
Introducción a la transformada rápida de Fourier
Introducción de los coeficientes complejos
Algoritmo FFT
Algoritmo detallado para m=4
Pseudocódigo de FFT
Ejemplo de FFT
FFT en cualquier intervalo
Ejercicios sobre interpolación trigonométrica y FFT
Solución de la Tarea
Aproximación trigonométrica
Introducción
Continuidad y derivabilidad de funciones de varias variables
Introducción al método del punto fijo
Convergencia del método del punto fijo
Pseudocódigo y ejemplo del método del punto fijo
Aceleración de la convergencia del método del punto fijo
Aceleración de la convergencia
Solución de la Tarea
Introducción al método de Newton
Método de Newton-Raphson
Pseudocódigo y ejemplo del método de Newton-Rapshon
Introducción al método del gradiente descendente
Algoritmo del gradiente descendente
Pseudocódigo del método de gradiente descendente
Ejemplo e implementación del método de gradiente descendente
Ejercicios de aproximación de ceros de sistemas no lineales
Solución de la Tarea
Sistemas no lineales
Introducción
Método del tiro
Problemas lineales de condiciones frontera
Resolución de problemas lineales de condiciones frontera
Pseudocódigo de resolución de problemas lineales
Ejemplo de resolución de problemas lineales
Método del tiro usando el método de la secante para problemas no lineales
Pseudocódigo y ejemplo del método de la secante
Método del tiro usando el método de Newton para sistemas no lineales
Pseudocódigo y ejemplo del método de Newton
Introducción al método de las diferencias finitas
Método de las diferencias finitas para problemas lineales
Pseudocódigo y ejemplo del método de las diferencias finitas
Método de las diferencias finitas para problemas no lineales
Pseudocódigo y ejemplo del método de Newton para diferencias finitas
Ejercicios de problemas frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias
Solución de la Tarea
Problemas de ecuaciones diferenciales en la frontera
Introducción
Introducción a las EDPs elípticas: la ecuación de Poisson
Aproximación en el mallado
Etiquetado del mallado y estructura del sistema
Pseudocódigo y ejemplo
Introducción a las EDPs parabólicas
Pseudocódigo y ejemplo EDPs parabólicas método hacia adelante
Estabilidad método diferencias finitas hacia adelante
EDPs parabólicas. Método de las diferencias finitas hacia atrás
Pseudocódigo y ejemplo EDPs parabólicas método de diferencias finitas hacia atrás
Estabilidad método diferencias finitas hacia atrás
EDPs parabólicas. Método de Crank-Nicolson
Pseudocódigo y ejemplo Método de Crank-Nicolson
Introducción a las EDPs hiperbólicas
Pseudocódigo y ejemplo EDPs hiperbólicas
Estabilidad de las EDPs hiperbólicas
Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales
Solución de la Tarea
Introducción a la resolución numérica de las ecuaciones en derivadas parciales
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